fonction continue périodique

SUPERIEUR

Bonsoir,
Voila j'ai des affirmations auxquelles il faut que je dise qu'elles sont vraie ou non, en les démontrant, mais je ne sais pas vraiment comment démontrer la suivante:
Toute fonction continue et périodique sur R admet au moins un extremum global sur R
D'après moi elle est vrai mais je ne sais pas comment faire pour la démontrer
Merci d'avance

Bonjour,

Je pense aussi que l'affirmation est vraie.

Idée ( à creuser ) pour une démonstration possible ,

Soit T (T > 0 ) une période de la fonction f.

f est continue sur R donc sur [0,T] , donc f bornée sur [0,T]

Pour tout x de [0,T] , il existe m et M tels que m ≤ f(x) ≤ M

Soit x un réel quelconque de R

En utilisant la périodicité de f , il existe un entier n de Z tel que :

nT ≤ x < (n+1)T et f(x-nT)=f(x)

En retranchant nT : 0 ≤ x-nT < T donc m ≤ f(x-nT) ≤ M

Par suite de l'égalité f(x-nT)=f(x) , on obtient m ≤ f(x) ≤ M

Bonjour,
Je ne vois pas ce qui faudrait rajouter à cette démonstration..
Merci

On peut toujours faire mieux ...

Bon travail !