Modélisation et résolution d'un problème à l'aide des suites

[apmx]

Bonjour à tous, j'ai un second exercice à faire sur les suites ou je bloques un peu j'aurai besoin de votre aide , voilà le sujet :
PREAMBULE : KEYNES, économiste britannique, est considéré comme l'un des plus influents théoriciens de l'Économie du XXeme siècle. Dans le manuel Macroéconomie de BAILLY, CAIRE, LAVIALLE et QUILÈS, on peut y trouver l'extrait suivant :
« Une entreprise privée décide de réaliser un investissement de cent millions d'Euros. À
cette fin, elle commande des biens d'équipements à d'autres entreprises qui, pour leur réalisation,
embauchent un certain nombre de travailleurs, ce qui constitue une création d'emplois
directs. Cette activité productive se traduit par une distribution de revenus pour un montant
de cent millions d'Euros aux propriétaires et aux salariés des entreprises fabriquant ces biens
d'équipement. Ces agents économiques vont ensuite utiliser ce revenu supplémentaire, en
partie sous forme d'achat de biens de consommation ( par exemple, quatre-vingts millions
si l'on suppose que la propension marginale à consommer est de 0, 8 en moyenne ) et pour
le restant, vingt millions, l'épargneront. Ces dépenses constituent alors des revenus pour les
commerçants, leurs fournisseurs, leurs employés, revenus qu'ils dépenseront à leur tour. Peu
à peu, les dépenses privées de consommation accentuent donc les effets de la dépense initiale
d'investissement privé. Cet enchaînement de vagues revenus-dépenses-revenus-dépenses-· · ·
continue indéfiniment mais leur importance est progressivement décroissante. »
Dans le manuel Sciences Économiques & Sociales - Enseignement spécifique - Programme 2012 de PASSARD et PERL, on peut y trouver l'extrait suivant :
« Les fluctuations de l'investissement entraînent des variations plus fortes du revenu et de la production globale : c'est l'effet multiplicateur keynésien. Ainsi, une hausse de l'investissement a des effets stimulants à court terme sur la croissance en raison de cet effet. »

Le but du problème est de modéliser et d'étudier l'effet multiplicateur keynésien. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Modélisation de l'effet multiplicateur keynésien

Un supplément d'investissement marginal delta I est injecté dans l'économie d'un pays.On suppose que le taux d'épargne d'un pays est s où s est un réel de ]0; 1[ ; ainsi, en moyenne, la propension marginale c à consommer est donnée, pour tout réel s de ]0; 1[ , par c = 1 − s : toute personne de ce pays consomme, en moyenne, (100c)% des revenus qu'il reçoit.
Le principe de l'effet multiplicateur keynésien est le suivant :
• à l'étape n = 0 , l'investissement delta RI de départ de l'entreprise privée constitue un revenu supplémentaire
deltaR0 pour les entreprises de biens d'équipements qui le reçoivent ; les salariés et propriétaires de ces entreprises reçoivent ce supplément de revenu
deltaR0 : ils en consomment c×
deltaR0 et en épargnent s×delta
R0 . La part du revenu consommé devient alors un revenu supplémentaire deltaR1 pour les salariés et propriétaires des entreprises de l'étape n = 1 ;
• à l'étape n = 1 , les salariés et propriétaires des entreprises reçoivent ce supplément de revenu deltaR1 : ils en consomment c ×delta
R1
et en épargnent s ×delta

R1 . La part du revenu consommé devient alors un revenu supplémentaire
deltaR2 pour les salariés et propriétaires des entreprises de l'étape n = 2 ;
• · · ·
• à l'étape n , les salariés et propriétaires des entreprises reçoivent le supplément
de revenu
delta
Rn : ils en consomment c × deltaRn et en épargnent s × delta

Rn . La part du revenu consommé devient alors un revenu supplémentaire delta
Rn+1 pour les salariés et propriétaires des entreprises de l'étape (n + 1) .
Ainsi, l'investissement delta I de départ engendre des revenus marginaux

deltaRn à chaque étape n de la chaîne. La totalité des revenus supplémentaires engendrés par cet investissement delta
I est la somme des revenus marginaux.

1. À l'aide du tableur Calc de la suite bureautique LibreOffice, compléter, en s'aidant du texte du manuel Macroéconomie donné en préambule,
   (a) la cellule B1 par le taux d'épargne.

(b) la cellule B2 par une formule de calcul permettant d'obtenir la propension
marginale à consommer.

(c) la cellule B3 par la valeur, exprimée en millions d'Euros, de l'investissement
de départ.

(d) la cellule B6 par une formule de calcul permettant d'obtenir le revenu supplémentaire

deltaR0 .

(e) la cellule C6 par une formule de calcul permettant d'obtenir le revenu consommé
à l'étape n = 0 .

(f) les cellules de B7 à B66 par une formule de calcul permettant d'obtenir les
revenus supplémentaires des étapes n = 1 à n = 60 .

(g) les cellules de C7 à C66 par une formule de calcul permettant d'obtenir les
revenus consommés des étapes n = 1 à n = 60 .

(h) la cellule E6 par une formule de calcul permettant d'obtenir la somme des
revenus supplémentaires des étapes n = 0 à n = 60 .

(i) la cellule E9 par une formule de calcul permettant d'obtenir le rapport de
la somme des revenus supplémentaires des étapes n = 0 à n = 60 sur
l'investissement.

(j) la cellule E12 par une formule de calcul permettant d'obtenir la somme de
l'épargne engendrée des étapes n = 0 à n = 60 .

voici le tableau que j'obtiens :

Ensuite il y a la deuxième partie de l'exercice c'est la ou arrive mon problème j'ai fais la première question ( je ne suis pas sure de la réponse, et le reste je bloque)

2. On suppose qu'une entreprise privée réalise de grands travaux et investit pour
   cela deltaI millions d'Euros. On a donc deltaR0 = delta I .

(a) Exprimer, en fonction de c et deltaI , le revenu supplémentaire
i. deltaR1 à l'étape n = 1 .
ii. deltaR2 à l'étape n = 2 .

(b) i. À l'étape (n+1) , exprimer le revenu supplémentaire delta Rn+1 en fonction
de deltaRn et c .
ii. Quelle est la nature de la suite (deltaRn) ?
iii. Exprimer alors, pour tout entier naturel n , deltaRn en fonction de n , c
et deltaI .

(c) En déduire que la somme des revenus supplémentaires somme deltaRn à l'étape n
est donnée par
somme deltaRn = deltaI × 1 − cn+1/ 1-c

(d) Le nombre d'étapes n devenant très grand, prouver qu'un investissement
deltaI engendre une somme de revenus supplémentaires somme deltaR donnée par
somme deltaR = deltaI × 1/1-c

Le réel K = 1/1-c est appelé multiplicateur keynésien.

(e) Démontrer que, paradoxalement, la somme de l'épargne engendrée S est,
quelle que soit la propension marginale c à consommer, toujours égale à
l'investissement delta I .

3. À l'aide de l'exemple décrit dans le texte du manuel Macroéconomie donné en
   préambule, illustrer les résultats de 2.(d) et 2.(e) .

Question 2)a)i) En fonction de C et Delta I , Le revenu supplémentaire delta R1 à l'étape n=1 est : à l'étape n =1 les salariés et propriétaires des entreprises reçoivent ce supplément de revenu Delta R1 ils en consomment CDeltaR1 et en épargnent SDeltaR1 , la part du revenu consommé devient donc un revenu supplémentaire R2 donc ils en consomment CDeltaR1 -> 0,880 car à l'étape n=1 le revenu supplémentaire est de 80(voir le tableau) et la propension marginale à consommer est de 0,8 donc 0,8 * 80 = 64 donc ils en consomment 64, et en epargnant sdeltaR1 = 0,2DeltaR1 = 80 * 0. 2=16 la part du revenu consommé devient alors un revenu supplémentaire R2 pour les entreprises de l'étape n =2

Question 2)a)ii) En fonction de C et Delta I , Le revenu supplémentaire delta R2 à l'étape n=2 est : à l'étape n =2 les salariés et propriétaires des entreprises reçoivent ce supplément de revenu Delta Rn ils en consomment CDeltaRn et en épargnent SDeltaRn , la part du revenu consommé devient donc un revenu supplémentaire Rn+1 ou ils consomment cDeltaR2= 0,864=51,2
et épargent sDeltaR2 = 0,264=12.8

Question 2)b)i) Je n'y arrive pas

Question 2)b)ii) je pense que la nature de la suite (Delta RN) est une suite géométrique de raison ? et de 1er terme?

Question 2)b)iii) pour tout entier naturel n, Delta Rn en fonction de n , c et delta I Delta Rn= Delta I* qc-n
Voilà .. je vous remercie pour l'aide que vous pourriez m'apporter