Primitive coriace

[mathtous]

Bonjour tout le monde.
Une question m'a été posée à laquelle je ne sais pas répondre :
f(x) = x.cos(x)/(1+x²)
Comme toute fonction continue, elle admet une primitive.
Mais une telle primitive peut-elle s'exprimer à l'aide des "fonctions usuelles" ?
Merci d'avance.

[mtschoon]

Bonjour Mathtous,

Je ne sais pas à quel niveau était la question posée...

Répondre avec des "fonctions vraiment usuelles" ...?...?

Voila la réponse donnée par un calculateur du web :

$\text{\red{\bigint \frac{xcos(x)}{1+x^2}dx=}$
$\text{\frac{1}{4e}((1+e^2)ci(i-x)+(1+e^2)ci(x+i)+ \ i(e^2-1)(si(i-x)+si(x+i)))$

Evidemment , si l'on considère que Cosinus intégral (Ci) et Sinus intégral (Si) sont des "fonctions usuelles ", il y a bien une réponse mais si on reste dans les écritures réelles , il n'y en a pas.

Par contre, plus modestement et en restant dans les réels ,

Soit $i=\bigint_0^{\infty}\frac{xcosx}{1+x^2}dx$

on peut démontrer assez facilement , sans expliciter avec des fonctions usuelles , *(j'ai fait le calcul par IPP et des majorations que je peux écrire si tu le souhaites) * , que l'intégrale I est convergente.

Ensuite , en prenant un outil de calcul numérique , on trouve :
$\bigint_0^{\infty}\frac{xcosx}{1+x^2}dx=0$

On pourrait d'ailleurs faire le même type d'étude avec
$\frac{xsinx}{1+x^2}dx$

Cela donne l'idée de travailler avec
$\bigint \frac{xe^{ix}}{1+x^2}dx$
mais je n'ai pas eu le courage d'essayer...

C'est tout ce que je suis capable de dire sur ce sujet !

[mathtous]

Bonjour Mtschoon.
Impressionnant : j'étais loin de penser à ça !
J'ai déjà eu du mal à simplement vérifier en redérivant, mais après moult erreurs, j'y suis parvenu.
Apparemment, on est donc obligé d'utiliser les fonctions Si et Ci complexes.
Donc comme tu dis, rien avec des fonctions réelles.
De plus, la question était posé par une personne du niveau environ deuxième année de fac.
On ne peut donc pas dire que les fonctions Si et Ci soient "usuelles".

Quant à l'intégrale I, je suis en effet intéressé par les détails. L'analyse n'est pas mon fort ...

De toute façon, merci beaucoup pour ton aide.
A bientôt.
Mathtous.

[mtschoon]

C'est déjà très bien d'avoir fait la vérification !

Voici les grandes lignes pour prouver que I est convergente

$i= \bigint_0^{\infty}\frac{xcos(x)}{1+x^2}dx$

Soit X > 0 et $j= \bigint_0^{x}\frac{xcos(x)}{1+x^2}dx$

Transformation par IPP :

$u=\frac{x}{x^2+1}$

$dv=cosxdx$

$du=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2$

$v=sinx$

$j=[\frac{xsinx}{1+x^2}]_0^x-\bigint_0^x\frac{(sinx)(1-x^2)}{(1+x^2)^2}dx$

$j=\frac{xsinx}{1+x^2}-\bigint_0^x\frac{(sinx)(1-x^2)}{(1+x^2)^2}dx$

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{xsinx}{1+x^2}=0$

Soit $k=\bigint_0^x\frac{(sinx)(1-x^2)}{(1+x^2)^2}dx$

Pour tout x de R+ , on peut prouver que :

$|\frac{(sinx)(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}|\le \frac{1}{1+x^2}$

Or

$\bigint_0^x \frac{1}{1+x^2}=[arctanx]_0^x=arctan x$

Donc :

$\bigint_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}$

Conclusion :

$\bigint_0^{\infty}\frac{(sinx)(1-x^2)}{(1+x^2)^2}dx$ est convergente ,

donc $i= \bigint_0^{\infty}\frac{xcos(x)}{1+x^2}dx$ est convergente.

[mathtous]

Merci.
Calculs faciles à suivre : cela est un peu plus de mon ressort que la question précédente (primitive).
Néanmoins, la question de la convergence de I ne m'avait pas été posée et je ne m'y étais donc pas penché.
Mais c'est intéressant.
En fait, la question initiale était de calculer l'intégrale de x.cos x/(1+x²) entre -1 et +1 : immédiat puisque la fonction est impaire.
La question de la primitive était "subsidiaire".
Encore merci (et chapeau bas).

[mtschoon]

C'est sûr qu'entre -1 et +1 , la difficulté n'existait pas .
Je pense que le piège était , pour l'étudiant , de ne pas voir l'imparité et de tenter de chercher en vain une primitive .

Mais, ça fait du bien de se creuser un peu la tête !

Bonne journée , mathtous.