Limites de ln(x)/x...Problème de compéhension [3p83déclic maths Tes]

[MynyMoi]

Bonjour à tous...:rolling_eyes:

Voilà, j'ai un DM à faire, et je ne comprends pas l'exercice:
"D'après la représentation des fonctions ln et racine carrée, on désire comparer ces deux fonctions. Pour cela, on cpnsidère la fonction f définie sur ]0;inf/ [ par:
f(x) = $sqrt$x - ln(x)."

J'ai calculé la dérivée, comme demandé. Puis, on me demande de résoudre l'inéquation $sqrt$x - 2 >= 0 et d'en déduire les variations de f sur l'intervalle ]0;+inf/ [ et de préciser la valeur du minimum.

Je ne comprends pas le rapport qui existe entre $sqrt$x - 2 et $sqrt$x - ln(x) .

J'ai rédigé:
$sqrt$x - 2 >= 0
$sqrt$x >= 2
x >= 4

$sqrt$x - 2 est donc négative sur ]0;4] puis positive sur [4;+inf/ [. Elle est donc croissante sur ]0;+inf/ [.

Puisque $sqrt$x - 2 >= 0 est croissante sur ]0;+inf/ [, alors f(x) = $sqrt$x - ln(x) est d'abord décroissante sur ]0;4[ puis croissante sur ]4;+inf/ [, car on associe une fonction inverse à $sqrt$x. Le minimum de cette fonction est donc (0;4).

Qu'en pensez-vous?
Je ne suis pas sûre de la véracité ni du bon raisonnement de ma rédaction. Pouvez vous m'éclairer?

De plus, on me demande de déduire le signe de f(x) [j'ai réussi je pense] et de conclure pour la comparaison proposée... Mais conclure quoi? je ne vois pas le rapport entre les deux fonctions donc..:s
Je dois également montrer que, sur [1;+inf/[, on a 0<= ln(x)/x <= 1/$sqrt$x
"???"
Puis je dois déduire la limite de ln(x)/x quand x tend vers +inf/
"????"

Merci d'avance de votre aide!! :rolling_eyes:

[MynyMoi]

Finalement, après quelques recherches j'ai trouvé et compris!! Votre non réponse m'a permis de me remettre un peu en question donc bilan positif merci