théorie des ensembles

soit R et S deux relations d'équivalence sur E
1)On définit une nouvelle relation T sur E par xTy et xSy
Montrer que T est une relation d'équivalence sur E
2)On définit une relation U sur E si et seulement si xRy ou xSy
Est-ce une relation d'équivalence sur E

Bonjour (ça se dit),

ne serait-ce pas plutôt xTy ⇔ xRy et sSy ?
Regarde si T est réflexive, symétrique, et transitive.

non c'est xSy
Sinon j'ai vérifier la relation d'équivalence.Mais pour la deuxieme question comment faire?

La relation U est-elle réflexive ?
Comment cela se traduit-il ?

si elle est réflexive cela veut dire que xUx.Je pense que c'est pas reflexive a cause du "ou" qui est dans la relation?

Oui, mais dans ce genre d'exercice, il faut préciser :
Soit x un élément quelconque de E.
On a xRx car R est réflexive
De même, on a xSx
On a donc xRx ou xSx (ici on a même les deux), donc on a xUx : la relation U est réflexive.

Est-elle symétrique ?

oui,elle est symétrique car si xUy alors yUx car R et S sont des relations d'équivalence donc sont symétrique?

Oui, mais ce n'est pas très clair, comme je te l'ai dit plus haut.
La relation U est-elle transitive ?

oui on justifie ainsi:
Soient x,y et z appartenant a E on a:
xRy,yRz alors xRz car R est transitive ou
xSy,ySz alors xSz car S est transitive,donc xUy,yUz alors xUz d'ou U est transitive;
U est donc une relation d'équivalence?

Non : c'est bien ce que je craignais, le "ou" te gêne, et tu ne pars pas de ce qui est donné.
Soit s,y, et z trois éléments quelconques de E, tels que xUy et yUz.
Peut-on établir que xUz ?
Si xUy et yUz, on a :
(xRy ou xSy) et (yRz ou ySz), ce qui fournit 4 possibilités : lesquelles et que peut-on conclure pour chacune ?

j'ai cherché mais je ne trouve pas...

Citation
Si xUy et yUz, on a :
(xRy ou xSy) et (yRz ou ySz), ce qui fournit 4 possibilitésOu bien : xRy et yRz
ou bien xRy et ySz
ou bien xSy et yRz
ou bien xSy ey ySz
Peut-on conclure pour chacune d'elles à xUz ?

Pour le premier on peut conclure a xRz et pour le dernier aussi on peut conclure xSz.Mais on ne peut pas conclure pour xUz

La seconde et la troisième possibilité ne permettent pas de dire xUz.
Donc la relation U n'est pas transitive.

ok,donc on a pas une relation d'équivalence.Mais pourquoi avec le "et" on en a une?

Prenons le cas de la transitivité :
xTy et yTz ⇔ (xRy et xSy) et (yRz et ySz)
A cause des "et", il n'y a en fait qu'une seule possibilité et non 4 :
xRy et xSy et yRz et ySz.
Avec xRy et yRz on en déduit xRz
Avec xSy et ySz, on en séduit xSz.
On a donc à la fois xRz et xSz, donc xTz.

Je t'ai détaillé le raisonnement à plusieurs reprises ; je t'engage à le faire en détail à chaque fois.

ok j'y vois plus clair maintenant!merci beaucoup!!

De rien.
A+