Déterminer le nombre de combinaisons d'événements vérifiant des conditions

Bonjour a tous,
Voici l'énoncé de mon problème:

Soient 3 éléments élémentaires A,B et C.

Combien y a t'il d'événement au total?

2)On dit que que deux combinaisons d'événements sont du même type si et seulement s'il
existe une permutation des événement élémentaires qui transforme l'une en l'autre. Par
exemple, {A,B, $cˉ\bar{c}$ } et {B,C, $aˉ\bar{a}$ } sont du même type que l'on pourra noter {A,B, $cˉ\bar{c}$ }.

(a) Combien y-a-t'il de types de combinaisons de deux événements différents autres
que ∅ et $∅ˉ\bar{\emptyset}$ ?

(b) Combien y-a-t'il de types de combinaisons de trois événements deux à deux distincts
et autres que ∅ et $∅ˉ\bar{\emptyset}$ ?

Une combinaison d'événements autres que ∅ et $∅ˉ\bar{\emptyset}$ est dite complète si la donnée des
probabilités de chacun de ses événements induit la probabilité de tous les événements.
En d'autres termes, la combinaison C est complète si deux lois de probabilités qui ont la
même restriction sur C sont toujours égales.

(a) Montrer que les combinaisons {A;B} et { $aˉ;bˉ\bar{a};\bar{b}$ } sont complètes.

(b) Montrer que toute combinaison qui contient une combinaison complète est elle-même complète.

(c) Donner les types des combinaisons de deux événements autres que ∅ et $∅ˉ\bar{\emptyset}$ qui sont
complètes.

(d) Montrer que toutes les combinaisons de trois événements autres que ∅ et $∅ˉ\bar{\emptyset}$ sont
complètes.

Montrer que seules les combinaisons {A;B;C} et { $aˉ;bˉ;cˉ\bar{a};\bar{b};\bar{c}$ } peuvent être composées d'événements non indépendants deux à deux.

J'ai réussi les questions 1)2) et 3) Mais pour la 4) je ne voit pas comment faire. Avez vous des indications?

Bonjour,

Depuis quelques jours , cet énoncé est sur différents forums du web , mis par toi ou d'autres.

Effectivement , tu n'as pas eu d'aide pour la question 4) et pour cause ! ! !

Je pense que quelque chose ne va pas...

Je fais la synthèse de ce qui est utile pour cette question.

En se basant sur les 3 singletons de départ composant l'univers , le nombre d'évènements est $2^3$ , c'est à dire 8

L'ensemble des évènements est : $∅,a,b,c,a‾,b‾,c‾,∅‾{\emptyset,a,b,c,\overline a,\overline b,\overline c, \overline \emptyset}$

Le nombre de combinaisons de trois événements deux à deux distincts
et autres que $∅‾\emptyset \ et\ \overline \emptyset$ est :
$(63)=20{{6}\choose {3}}=20$

Si on trie ces 20 combinaisons par type , on trouve 6 types :

$\ type 2 : {\overline a,\overline b,\overline c} \ type 3 : {a,\overline b,\overline c} \ type 4 : {a,\overline b,\overline a} \ type 5 : {a,b,\overline c} \ type 6 : {a,b,\overline a}$

D'après l'énoncé , Il faut ensuite prouver que les combinaisons de type 1 et 2 sont composées d'événements non indépendants deux à deux .

Notations pour les probabiliés :
p(A)=a,p(B)=b,p(C)=c
avec a+b+c=1 et a≠0,b≠0,c≠0,a≠1,b≠1,c≠1

Preuve pour le type 1
A,B,C jouant le même rôle , ou peut se contenter de faire la vérification avec A et B

$p(a∩b)=p(∅)=0p(a\cap b)=p(\emptyset)=0$
$p(a)×p(b)=abp(a)\times p(b)=ab$

Vu que ab≠0, A et B ne sont pas indépendants.

Preuve pour le type 2
Applique le même principe avec $b‾\overline a \ et\ \overline b$ et tu trouveras que $b‾\overline a \ et\ \overline b$ ne sont pas indépendants.

Jusque là , tout va bien.

Enfin , il faudrait prouver que les combinaisons de type 3,4,5,6 sont composées d'événements dont 2 au moins sont indépendants

Je te laisse chercher car je n'ai pas trouvé 2 évènements indépendants.

C'est cela le problème ! ! !