3. dm sur les suites (MPSI)

dm sur les suites (MPSI)

  • K

    Bonsoir, je crois que je n'aurais pas du profiter de mes vacances et le retour en prépa s'annonce,
    si vous pouviez me donnez qq idées ce ne serait pas de refus pour que je ne me couche pas trop tard(ou trop tôt)
    merci davance
    (les questions que vous trouvez évidentes vous n'etes pas obliger dy repondre)

    EXO 1
    soit (Un) définie par : pour entier naturel : Un+1 = Un + Un ² ; u0 = A avec A réel

    partie 1

    1. sens de variation
    2. si (Un) converge, quelle peut etre sa limite?
    3. monter que si u0 appartient à [-1;0]alors pour tout entier Un appartient à [-1;0]: que peut-on en déduire
      4)que peut-on dire de (Un) lorsque A > 0? lorsque A < -1?

    partie 2
    dans cette partie on suppose A > 0;
    soit (Vn) définie par Vn = ln (Un) X 1/ 2^n

    1. calculer Vn+1 - Vn en fonction de Un. En déduire le sens de variation de (Vn)

    2. montrer que pour tous entiers naturels n et p:
      0 < Vn+p - Vn <= ln(1 + 1/Un) X 1 / 2^n

    3. en déduire que (Vn) converge :soit K cette limite

    4. montrer que pour tout n : Un <= exp(K X 2^n) <= Un + 1
      en déduire un équivalent de Un quand n tend vers +infini

    5. a)on pose : Bn = exp (K X 2^n) - Un.
      montrer que la suite (Bn) est bornée et qu'elle vérifie la relation suivante :
      2 X Bn - 1 = (Bn+1 +(Bn)²- Bn) X exp(-K X 2^n)
      b)montrer que (Bn) converge et déterminer sa limite;
      6)Prouver enfin que lorsque n tend vers l'infini : Un = exp(K X 2^n) - 1/2 + o(1)

    EXO 2
    soit (Xn) une suite réelle telle que la suite (Xn+1 - Xn) converge vers 0. On désigne par A l'ensemble des réels l pour lesquels il existe une suite extraite de (Xn) qui converge vers l.

    1. on suppose que A est non vide et non réduit à un singleton. Soit a et b deux éléments distincts de A et c un réel strictement compris entre a et b. Soit E un réel strictement positif et inférieur à 1/2 X min(Ic-aI , Ic-bI). Démontrer qu'il existe au moins un terme de la suite (Xn) dans l'intervalle [c-E,c+E]. En déduire que c appartient à A. Que peut-on en déduire pour l'ensemble A?

    2)Exemple : on pose pour tout entier naturel n : Xn = sin (racine n).
    Vérifier que la suite (Xn) satisfait bien à l'hypothèse, et déterminer l'ensemble A correspondant.

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