Probabilité totale et probabilité conditionnelle.

Bonsoir,

Voila l’exercice aussi que les réponses que j'ai fait. Vraiment, j’espère que mes réponses sont justes, j'ai appliqué la règle c'est tout.

En tout les cas, voila:
Une entreprise d'assurance répartit ses clients en trois classes R1 (les bons risques), R2 (les risques moyens) et R3 (les mauvais risques).
Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour R2 et 30% pour R3. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année 2013 pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement 0,05 , 0,15 et 0,30.

Quelles est la proba qu'un personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année 2013?
2)Si M.Anonyme ,n'a pas eu d'accident en 2012, quelle est la proba qu'il soit un bon risque?

Voila ce que j'ai fait:

Tout d'abord transformant les information dans l’énoncé sous forme de proba.
P(R1)=20% ; P(R2)=50% ; P(R3)=30%
Soit A l'événement : "une personne fait un accident".
Donc P(A/R1)=0,05 ; P(A/R2)=0,15 ; P(A/R3)=0,3

1)Selon la formule des probabilité totales
P(A)=∑P(Ri)P(A/Ri)
=P(R1)P(A/R1)+P(R2)P(A/R2)+P(R3)P(A/R3)
Je trouve à la fin que P(A)=0,175

2)Il s'agit ici de la probabilité conditionnelle.
Puisque A est l'événement qui correspond à le fait de faire un accident, donc $aˉ\bar{a}$ correspond à ne pas faire un accident.
Donc selon la formule de Bayes, on a :
$p(r1/aˉp(r1/\bar{a}$ )= $p(r1)p(aˉ/r1)∑p(ri)p(aˉ/ri)\frac{p(r1)p(\bar{a}/r1)}{\sum{p(ri)p(\bar{a}/ri)}}$

= $p(r1)p(aˉ/r1)p(r1)p(aˉ/r1)+p(r2)p(aˉ/r2)+p(r3)p(aˉ/r3)\frac{p(r1)p(\bar{a}/r1)}{p(r1)p(\bar{a}/r1)+p(r2)p(\bar{a}/r2)+p(r3)p(\bar{a}/r3)}$

sachant que, (ça je n'en suis pas sur, j'aimerai bien savoir si c'est vrai ou non)
$p(aˉ/r1)=1−p(a/r1)p(\bar{a}/r1)=1-p(a/r1)$

ce qui donne: $p(r1/aˉ)p(r1/\bar{a})$ =0,230
Bon voila...

Bonjour,

Je regarde,

Oui pour la 1)

Pour la 2) , tu peux écrire la formule plus simplement :

$p_{\overline a} (r_1)=\frac{p(r_1)\times p_{r_1}( \overline a)}{p(\overline a)$

Tu sais que :

$pr1(a‾)=1−pr1(a)=1−0.05=...p(r_1)=0.2 \ p(\overline a)=-1-p(a)=... \ p_{r_1}( \overline a)=1-p_{r_1}(a)=1-0.05=...$

Tu n'as plus qu'à terminer le calcul
(*vérifie la valeur que tu as indiquée) *

REMARQUE :

Tu as un doute sur $pr1(a‾)=1−pr1(a)p_{r_1}( \overline a)=1-p_{r_1}(a)$

Si ce n'est pas dans ton cours , tu peux le démontrer.

Par exemple :

$r1=(r1∩a)∪(r1∩a‾)r_1=(r_1\cap a)\cup(r_1\cap \overline a)$ ( parties disjointes )

$p(r1)=p(r1∩a)+p(r1∩a‾)p(r_1)=p(r_1\cap a)+p(r_1\cap \overline a)$

En divisant chaque membre par $p(r_1)$ ( non nul )

$1=p(r1∩a)p(r1)+p(r1∩a‾)p(r1)1=\frac{p(r_1\cap a)}{p(r_1)}+\frac{p(r_1\cap \overline a)}{p(r_1)}$

c'est à dire :

$1=pr1(a‾)+pr1(a)1=p_{r_1}( \overline a)+p_{r_1}(a)$

En transposant , tu obtiens l'égalité voulue.

Yaaaay, c'est ce que j'ai fait, alors c'est juste, je suis heureuse. Merci de m'avoir corrigé, aussi pour la démonstration, ça m'a aidé.

Il y'en a une toute petite chose qui me gène, je n'ai pas utilisé la $p(aˉ)p(\bar{a})$ dans mon calcul, alors pourquoi vous l'aviez calculé?

La formule que je t'ai indiqué pour le 2), bien que voulant dire exactement pareil que celle que tu as donnée, est plus simple :
le dénominateur s'écrit $p(a‾)p(\overline a)$
( Ce n'est pas la peine de le décomposer vu que $p(a‾)p(\overline a)$ se calcule facilement ).

Aaaah,je vois, je vois... Ça donne la même valeur, donc c'est bon.
Merciii.

De rien !