Relations Binaires

Bonjour
J'ai un souci sur cet exercice:
Soit E un ensemble et f une bijection de E dans E. On définit sur E la relation ℜ par:
∀x,y∈E, xℜy⇔∃n∈Z, $y=f^n$ (x).
Montrer que ℜ est une relation d'équivalence.

J'ai prouvé la symétrie et a transitivité et il me manque la réflexivité.
Pour tout x∈E, je dois trouver n∈Z tel que $x=f^n$ (x). Je ne vois pas quel est ce fameux "n". Aidez-moi s'il vous plait!
Merci!

Bonjour ,

Je suppose que $f^n$ désigne la composée de f par elle même n fois.

Par convention $f^0=id$

Pour la réflexivité, tu prends $n = 0$

$f0(x)=x\forall x \in e\ , \ f^0(x)=x$

Merci beaucoup!

Y a encore la suite de l'exercice qui me pose problème.

Montrer que si C est une classe d’équivalence pour R alors, f(C)=C. (question faite, je l'ai écrite juste au cas ou elle s'avère utile).
Montrer que si X une partie non vide de E vérifiant f(X)=X, alors X est une réunion de classes d'équivalences pour R.

C'est cette dernière question que je ne sais pas faire.
Y aurait-il quelqu'un pour m'aider?
Merci!

Peut-être une ébauche de raisonnement pour ta dernière question,

Notation : je note cl(x) la classe d'équivalence de x

Tu dois pouvoir montrer , par double inclusion , que $\fbox{\text{x=\bigcup_{x\in x} cl(x)}$

a) Nécessairement $\fbox{\text{x \subseteq \bigcup_{x\in x} cl(x)}$

car

$\text{\forall x \in x xrx donc x \in cl(x) donc x \subseteq cl(x)$

b) Tu peux montrer que $\text{si x \in x alors \text{cl(x) \subseteq x$ , d'où

$\text{\fbox{\text{\bigcup_{x\in x} cl(x) \subseteq x}$

Pistes pour cela ,

Soit $\text{y \in cl(x$)

$\text{xry donc \exist n \in z , y=f^n(x)$

Tu traites les cas n=0 , n ≥ 1, n ≤ -1

Pour n=0, c'est trivial

Pour n ≥ 1 : tu fais une récurrence

Initialisation pour n=1

$strong>y=f^1$ (x) donc y=f(x) ; f(x) ∈ f(X) ; or f(X)=X donc y ∈ X

d'où $\text{cl(x) \subseteq x$

Tu fais l'hérédité avec la même démarche ( *ça se fait bien *)

Pour n ≤-1 : même raisonnement que pour n ≥ 1

( Utilise $\text{ f^{-1}(x)=x$ )

Bon courage pour ta démonstration.

Merci infiniment du temps que vous m'avez consacré!
C'est bon, je l'ai faite grâce à vous.
Sinon, je me demandais si l'on ne pouvait aller plus vite en remarquant (ça se démontre par récurrence) que $f^n$ (X)=X.
Soit alors: y∈ Cl(x) ⇒ ∃n∈Z, $y=f^n$ (x). Or, x∈X, donc $f^n$ (x)∈ $f^n$ (X). C'est à dire que y∈ $f^n$ (X), donc y∈X.
Ou bien ai-je commis une bêtise?
Merci encore!

Pourquoi pas ?

Si tu le fais avec rigueur, tu peux éviter les deux étapes (pour la partie b).

Evidemment , il faut que tu aies démontré que$\text{f^n(x)=f(x) pour tout n de z$ ( pas seulement pour tout n de N )

Bon Dm (et merci d'avoir aidé Magy )

OK. Merci infiniment!

De rien !