Relations Binaires



  • Bonjour
    J'ai un souci sur cet exercice:
    Soit E un ensemble et f une bijection de E dans E. On définit sur E la relation ℜ par:
    ∀x,y∈E, xℜy⇔∃n∈Z, y=fny=f^n(x).
    Montrer que ℜ est une relation d'équivalence.

    J'ai prouvé la symétrie et a transitivité et il me manque la réflexivité.
    Pour tout x∈E, je dois trouver n∈Z tel que x=fnx=f^n(x). Je ne vois pas quel est ce fameux "n". Aidez-moi s'il vous plait!
    Merci!


  • Modérateurs

    Bonjour ,

    Je suppose que fnf^n désigne la composée de f par elle même n fois.

    Par convention f0=idf^0=id

    Pour la réflexivité, tu prendsn=0n=0

    xe , f0(x)=x\forall x \in e\ , \ f^0(x)=x



  • Merci beaucoup!



  • Y a encore la suite de l'exercice qui me pose problème.

    • Montrer que si C est une classe d’équivalence pour R alors, f(C)=C. (question faite, je l'ai écrite juste au cas ou elle s'avère utile).

    • Montrer que si X une partie non vide de E vérifiant f(X)=X, alors X est une réunion de classes d'équivalences pour R.

    C'est cette dernière question que je ne sais pas faire.
    Y aurait-il quelqu'un pour m'aider?
    Merci!


  • Modérateurs

    Peut-être une ébauche de raisonnement pour ta dernière question,

    Notation : je note cl(x) la classe d'équivalence de x

    Tu dois pouvoir montrer , par double inclusion , que $\fbox{\text{x=\bigcup_{x\in x} cl(x)}$

    a) Nécessairement $\fbox{\text{x \subseteq \bigcup_{x\in x} cl(x)}$

    car

    $\text{\forall x \in x xrx donc x \in cl(x) donc x \subseteq cl(x)$

    b) Tu peux montrer que $\text{si x \in x alors \text{cl(x) \subseteq x$ , d'où

    $\text{\fbox{\text{\bigcup_{x\in x} cl(x) \subseteq x}$

    Pistes pour cela ,

    Soit $\text{y \in cl(x$)

    $\text{xry donc \exist n \in z , y=f^n(x)$

    Tu traites les cas n=0 , n ≥ 1, n ≤ -1

    Pour n=0, c'est trivial

    Pour n ≥ 1 : tu fais une récurrence

    Initialisation pour n=1

    <strong>y=f1<strong>y=f^1(x) donc y=f(x) ; f(x) ∈ f(X) ; or f(X)=X donc y ∈ X

    d'où $\text{cl(x) \subseteq x$

    Tu fais l'hérédité avec la même démarche ( *ça se fait bien *)

    Pour n ≤-1 : même raisonnement que pour n ≥ 1

    ( Utilise $\text{ f^{-1}(x)=x$ )

    Bon courage pour ta démonstration.



  • Merci infiniment du temps que vous m'avez consacré!
    C'est bon, je l'ai faite grâce à vous.
    Sinon, je me demandais si l'on ne pouvait aller plus vite en remarquant (ça se démontre par récurrence) que fnf^n(X)=X.
    Soit alors: y∈ Cl(x) ⇒ ∃n∈Z, y=fny=f^n(x). Or, x∈X, donc fnf^n(x)∈fnf^n(X). C'est à dire que y∈fnf^n(X), donc y∈X.
    Ou bien ai-je commis une bêtise?
    Merci encore!


  • Modérateurs

    Pourquoi pas ?

    Si tu le fais avec rigueur, tu peux éviter les deux étapes (pour la partie b).

    Evidemment , il faut que tu aies démontré que$\text{f^n(x)=f(x) pour tout n de z$ ( pas seulement pour tout n de N )

    Bon Dm (et merci d'avoir aidé Magy )



  • OK. Merci infiniment!


  • Modérateurs

    De rien !


 

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