relations

bonjour,je coince sur ceci:
Soit E un ensemble et R relations suivantes:
E=N et xRy<--->cos^2(x)+sin^2(y)=1
E=N et xRy<--->x+y=0
1)Dire si ces relations sont reflexives,transitives,antisymetriques ou symetriques.
2)Quelles sont parmis ces relations les relations d'equivalence ou relations d'ordre.

Salut,
La première est une relation d'équivalence.
Qu'as-tu essayé de faire de ton côté?

Pour le premiere j'ai montré qu'elle est reflexive et symetrique,mais j'ai pas pu montrer qu'elle est transitive et qu'elle n'est pas antisymetrique.

Voici donc:
xRy et yRz ⇔ cos²(x)+sin²(y)=1 et cos²(y)+sin²(z)=1. En sommant ces deux égalités, on obtient: cos²(x)+sin²(y)+cos²(y)+sin²(z)=2 ⇔cos²(x)+1+sin²(z)=2 ⇔cos²(x)+sin²(z)=1. Donc xRz. R est alors transitive.

ok donc c'est pas la peine de montrer si elle est antisymetrique ou pas?

Parce qu'on a dit de dire si ces relations sont reflexives,transitives,antisymetriques ou symetriques.

Sauf erreur de ma part, ta relation est anti-symétrique.
xRy et yRx⇔ cos²(x)+sin²(y)=1 et cos²(y)+sin²(x)=1 . Donc:
cos²(x)+sin²(y)=cos²(y)+sin²(x)⇔cos²(x)-sin²(x)=cos²(y)-sin²(y)⇔ cos(2x)=cos(2y)⇒ Donc x=y ou x=-y. Réciproquement, on vérifie que x=y est vrai mais x=-y non. Finalement, xRy et yRx⇔ x=y

donc la relation n'est plus une relation d'equivalence?

Pourquoi donc? Elle est d'équivalence et d'ordre à ce qu'il parait.

ok,mais pour la deuxieme relation:elle n'est pas reflexive car x+x ne donne pas 0,elle est symetrique,par contre pour l'antisymetrie et la transitivite je bloque.

xRy et yRx ⇔x+y=0 et y+x=0 ⇔x=y=0 car x,y ∈N. Donc anti-symétrique.

On vient de voir que xRy ⇔x=y=0 , donc: xRy et yRz⇔x=y=0 et y=z=0⇒x+z=0⇒xRz. Donc R est transitive.

ok,puisqu'elle n'est pas reflexive ce n'est ni une relation d'ordre ni une relation d'equivalence?

Tout à fait.

Donc c'est la premiere relation qui est a la fois une relation d'ordre et une relation d'equivalence!
Merci pour ton aide!!

Bonjour,

un détail , peut-être .

E=N

Pour la première relation :

Si l'on considère que l'unité d'angle est impérativement le radian, l'explication de Claudinette96 est bonne.

Mais , l'unité d'angle n'est pas précisée... imaginons que ce soit en degrés :

2∏ radians = 360°

En prenant x=30 et y=390

30R390 et 390R30 n'implique pas 30=390 ...

La remarque serait la même avec les grades .

A toi de décider Magy !

Je crois que l'on t'a tout dit et Claudinette t'a bien aidée ( merci à elle!)

Pour l'antisymétrie de la première relation , vu que l'unité d'angle n'est pas précisée , tu peux faire une petite discussion : cas où l'unité d'angle est le radian ( cas usuel ) , et cas où l'unité d'angle serait le degré ou grade.

Une remarque : fais attention quand tu rédigeras ton devoir , pour la non réflexivité de la seconde relation.

Tu as écrit :"x+x ne donne pas 0"

Précise "x+x ne donne pas 0 pour tout x naturel"

x+x=0 <=> 2x=0 <=> x=0