Montrer des égalités avec des matrices

Bonjour à tous,

Soit M=(0 3
-2 5).
On admet que M²=5M-6I2.

Montrer que pour tout n de N, il existe un unique (a_n, b_n) de R² tel que M^n=a_nM+b_nI2. Déterminer une relation entre a_(n+2), a_(n+1) et a_n pour tout n de N.

Je pense qu'il faut faire une existence/unicité ? est ce possible ? Si oui, pouvez vous m'y aider ? merci !

Bonsoir,

Une piste possible : fais une démonstration par récurrence .

d'accord donc :

Initialisation : pour n=0, on a; (a_0,b_0) appartient à R² avec a_0=0 et b_0=1 et M^0=I2 et a_0M+b_0I2 donc P_0 est vraie

Hérédite :
Soit un n tel que la propriété est vraie : on veut démontrer qu'il existe un a_(n+1) et un b_(n+1) de R² tel que M^(n+1)=a_(n+1)M+b_(n+1)I2

et c'est ici que je bloque

$mn+1=mn×m=(anm+bni2)×mm^{n+1}=m^n\times m=(a_nm+b_ni_2)\times m$

Tu développes :

$m^{n+1}=a_nm^2+b_nm$

Tu remplaces M² par l'expression donnée et tu continues à transformer.

ok donc :

$M$ ^{n+1} $= a$ _n $5M-6I2+b_n$ M

je ne vois pas comment simplifier plus...et comment faire apparaitre le $a_{n+2}$ demandé

$m^{n+1}=5a_nm-6a_ni_2+b_nm$

En factorisant :

$m^{n+1}=(5a_n+b_n)m-6a_ni_2$

Donc

$a_{n+1}=............... \ b_{n+1}=..............$

$5a_n+b_n)M=M^{n+1}$ +6I2

faut il isoler a_n+1 ?

Par identification

$a_{n+1}=5a_n+b_n \ b_{n+1}=-6a_n$

ok merci.
Mais on me demande de Déterminer une relation entre a_(n+2), a_(n+1) et a_n pour tout n de N.

Donc je dis que :

a_n+2=5a_n+1+b_n+1=5a_n+1-6a_n+1 ?

Tu exprimes $a_{n+2} \ et\ a_{n+1}$ en fonction de $a_n \ et\ b_n$

Avec ces deux relations , en éliminant $b_n$ , tu obtiendras une relation entre $a_{n+2}\ ,\ a_{n+1}\ et\ a_n$

$a$ {n+2} $= 5 a$ {n+1} $6a_n$

Cela me semble bon.

en tout cas merci

De rien !