Matrices et formules

Bonjour à tous,

On me demande de trouver pour chacune des matrices ci-dessous (matrices de la forme 3*3 chaque / représente un retour à la ligne) la matrice à la puissance n (forme qui permettrait de calculer les matrices à n'importe quelle puissance) :

a) A=( 0 1 -3 / 0 0 1 / 0 0 0)
b) B=( 0 1 0 / 0 0 1/ 1 0 0)
c) C=(3 -2 -2 / -2 3 -2/ -2 -2 3)
d) D=( 2 1 -3 / 0 2 1/ 0 0 2)

A chaque fois, j'ai calculé les premières puissances, pour la a), je pensais à An=A^(n-1)O_3mais elle ne marche pas pour A²

merci de m'aider !

Bonjour,

Je regarde ce que tu dis sur a)

Je pense que tes calculs sont justes.

Sauf erreur , après calculs :

$a^2=\left(0\ 0\ 1\0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\right)$

$a^3=\left(0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\right)$

En multipliant une matrice par une matrice nulle , on obtient une matrice nulle.

Conclusion : pour n ≥ 3 :

$a^n=\left(0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\right)$

a) je suis d'accord pour la A mais faut il traiter le cas où n=2 pour écrire la formule générale ?

b) la B me parait plus difficile. Quand je calcule les premières puissances, je vois une sorte de décalage des 1 de chaque ligne en temps

Je n'ai pas regardé le b)

Pour le a) tu n'as rien de plus à faire .

En donnant la valeur de $A^2$ puis celle de $A^n$ pour n≥ 3 , tu as totalement répondu à la question.

ok merci!

oui pour le reste je bloque complètement je vous laisse le temps nécessaire

Je regarde rapidement B(après, guère le temps car ce soir c'est Noël !)

Après calculs , sauf erreur :

$b^2=\left(0\ 0\ 1\1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\right)$

$b^3=\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

$b^3$ et la matrice unité $i_3$

Il y a donc une période :

$b= b^4=b^7=... \ b^2=b^5=b^8=... \ b^3=b^6=b^9=...$

Il te reste à écrire ces 3 expressions suivant n ( 3 cas )

pour la première expression :

$B$ ^n $1-B^3$ )/(1-B)

je ne suis pas sure du tout...

Bonjour ( et bon Noël ! )

Bizarre ce que tu as écrit...revois tout ça de près.

Pour le premier cas :

Les exposants 1,4,7,10,...forment une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3 : il sont de la forme 3k+1 avec k∈N

Donc :Pour tout k ∈ N

$b^{3k+1}=\left(0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\1\ 0\ 0 \right)$

Traite de même le second et le 2ème et 3ème cas.

oui bon Noël !
je ne comprends pas comment vous avez fait pour déterminer la raison 3...

1+3=4
4+3=7
7+3=10
10+3=13
...

Revois la période ( grâce à $\text{b^3=id_3$) , car tout est là.

2
5
8

la aussi une suite arithmétique de raison 3

donc B^3k+2 = ( 0 0 1/ 1 0 0 /0 1 0)

oui.

ok et donc pour le dernier cas on a :

B^3k+3=(1 0 0 / 0 1 0/ 0 0 1)

je dois écrire ces trois formes séparément pour détermienr la forme générale ?

C'est bon.

Effectivement , il n'y a pas une formule générale unique , il y a trois formules suivant le type d'exposants.

N'oublie pas de préciser que dans les expressions 3k+1,3k+2,3k+3 ,k appartient à N.

ok merci pour la b)

et pour les deux dernières si possible ?

dois je faire ce même genre de procédé ? ou est ce possible de trouver une formule "directe"

Je regarde un peu C et je t’indique un principe possible.

Commence par décomposer C :

$c=3\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)-2\left(0\ 1\ 1\1\ 0\ 1\1\ 1\ 0\right)$

en posant $e=\left(0\ 1\ 1\1\ 0\ 1\1\ 1\ 0\right)\ et\ i=\left(1\ 0\ 0\0\ 1\ 0\0\ 0\ 1\right)$

$c = 3 i - 2 e$

Tu calcules C² et E²
Tu décomposes C² et E² en fonction de I et E
Tu en déduis C² en fonction de C
Tu dois trouver $c^2=4c+5i$ (c'est bon;j'ai vérifié à la calculette)

En poursuivant, $c^3,c^4,...,c^n,...$ peuvent s'exprimer en fonction de C et I

Tu as donc :
$c^1=1c+0i \ c^2=4c+5i \ ... \ c^n=a_nc+b_ni \ c^{n+1}=a_{n+1}c+b_{n+1}i$

Tu exprimes $\text{a_{n+1} et b_{n+1}$ en fonction de $\text{a_n et b_n$

Ensuite , tu en déduis les expressions de $\text{a_n et b_n$

A toi de "jouer" maintenant ( Je n'ai pas fait les calculs )

$c$ ^{n+1} $= a$ {n+1} $3I-2E)+b</em>{n+1}$ I

faut il que je décompose ce qu'il y a au dessus pour trouver l'expression en fonction de $a_n$ ?

dur dur...

$c^{n+1}=a_{n+1}c+b_{n+1}i$

d'autre part:

$cn+1=cn×c=(anc+bni)=anc2+bncc^{n+1}=c^n\times c=(a_nc+b_ni)=a_nc^2+b_nc$

Tu remplaces C² par 4C+5I

Tu dois trouver :

$c^{n+1}=(4a_n+b_n)c+5a_ni$

En identifiant les deux expressions de $c^{n+1}$ , tu trouves :

$a_{n+1}=.... \ b_{n+1}=...$

oui un peu !

donc $a$ _{n+1} $= 4 a$ n $b_n$ et $b$ {b+1} $5a_n$

j'espère que je serai plus à l'aise avec ce genre de raisonnement

d) D²=(4 4 -11/ 0 4 4 / 0 0 4)
$D^3$ =(8 12 -30 / 0 8 12/ 0 0

pour la c) je comprends ce que vous écrivez mais je ne sais pas quelle méthode vous employez vous savoir par quoi décomposez...comment vous choisissez vos matrices en fait

L'idée est de décomposer en utilisant la matrice unité I

Pour le C , tu n'as pas fini : il te reste à exprimer $a_{n }$ et $b_n$ en fonction de n ( en faisant intervenir des suites usuelles )

j'ai écrit sous la forme d'un système :

$a$ _{n+1} $= 4 a$ n $b_n$
$b$ {n+1} $5a_n$

alors : $a$ {n+2} $= 4 a$ {n+1} $5a_n$
alors : r²-4r-5=0 je trouve comme solutions -1 et 5 donc $a$ _n $= a (- 1)$ ^n $b(5)^n$

mais je ne connais pas $a_0$ et $a_1$ pour trouver les deux coeff a et b par contre

$c^0=i=0c+1i \ c^1=c=1c+0i$

d'accord.

C=3I-2E

Je ne trouve pas le lien entre a, b et C c'est ça mon problème.
normalement pour résoudre ce genre d'équation, je dois trouver a0 et a1 par exemple pour en déduire b et inversement pour en déduire a

Je précise un peu plus et ensuite tu termines ton exercice.

(trop d'aide nuit à l'aide )

Comme dejà dit :

$c^0=0c+1i \ c^1=1c+0i$

donc $a_0=0,\ b_0=1 ,\ a_1=1\ et \ b_0=0$

$a_n=a(-1)^n+b(5)^n$

Pour n=0 : $0=a(-1)^0+b(5)^0$
Pour n=1 : $1=a(-1)^1+b(5)^1$

Tu simplifies et tu obtiens un système simple à résoudre pour trouver a et b

Tu obtiendras ainsi $a_n$ et tu pourras déduire bn

En bref , tu auras l'expression générale de $C^n$

Bonne fin de DM.

Merci je trouve donc a=-1/6 et b=1/6

donc $a$ _n $= - 1 / 6 (- 1)$ ^n $1/6*5^n$

donc $C$ ^n $= (- 1 / 6 (- 1)$ ^n $1/6<em>5^n$ )C+5
$(- 1 / 6 (- 1)$ ^n $1/6*5^n$ )I

Je vais essayer de réfléchir pour la dernière

Fait attention à $b_n$

J'ai l'impression que tu a pris $b_{n+1}$ au lieu de $b_n$

Vérifie avant de faire la dernière question

$b_n=5a_{n-1}=...$

Tu revois tout cela et maintenant tu fais seul(e) la 4ème question.

Bon travail .

$b$ _n $= 5 (- 1 / 6 (- 1)$ ^{n-1} $1/6*5^{n-1}$ )

je reviens tout à l'heure pour faire la d)

Alors pour le d)

J'ai d'abord voulu tenter le binôme de Newton. C'est à dire, j'ai écrit que aI3+bD=(2b+a b -3b/ 0 2b+a b/ 0 0 2b+a).

J'ai trouvé que b=1 et a=0 permettaient de retomber sur D. Sauf que cette méthode ici n'aboutit pas car au départ, je n'ai pas vu une formule simple du genre : $D$ ^n $r^{n-1}$ D avec r réel. Donc j'abandonne cette méthode (dommage car je la trouve simple).

J'ai ensuite essayer de décomposer D comme pour le c) ce qui donne :

D=2I+(0 1 -3/ 0 0 1/ 0 0 0)=2I+E
J'ai calculé D² et E² pour les exprimer en fonction de I et E sauf que la matrice E me pose problème faut il que je la décompose elle aussi ?

Oui , il faut décomposer en faisant intervenir la matrice unité I

E n'est-il pas la matrice A da la première question ?

oui E=A donc D=2I+A

D²=(4 4 -11/ 0 4 4 / 0 0 4)=4I+4A+(0 0 1/ 0 0 1/ 0 0 0)
E²=A²

c'est le fait de rajouter la matrice dans le D² qui me gène légèrement

Trouve une bonne stratégie.

Observe ce qui a été fait pour A

Pour n ≥ 3 , $A^n$ est la matrice nulle.

Pour trouver $D^n$ , il te suffit d'utiliser la formule du binôme ( vu tu auras très peu de termes car la plupart sont nuls...)

$d^n=(2i+a)^n=.....$

donc :
n
∑ C(n, $k) (2 I)$ ^{n-k} $A$ ^k $= 2$ ^{n-k} $A^k$
k=0
n
= $2$ ^n $* I + 2$ ^{n-1} $A+2^{n-2}$ *A²+∑ O
k=3
Donc $D$ ^n $= 2$ ^n $* I + 2$ ^{n-1} $A+2^{n-2}$ *A²

je rectifie : $D$ ^n $= 2$ ^n $+ 2$ ^{n-1} $A+2^{n-2}$ A²+∑ C(k, $n)2^{n-k}$ avec ∑ C(k, $n) 2$ ^{n-k} $1-2)^{n+1}$ /(1-2)

Bizarre... $D^n$ est bien la somme de 3 termes mais je ne comprends pas où tu as mis les coefficients...c'est peut-être ton écriture qui n'est pas claire...

$dn=2ni+n2n−1a+n(n−1)22n−2a2d^n=2^ni+n2^{n-1}a+\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}a^2$

Connaissant I,A, $A^²$ , tu peux mettre $D^n$ sous forme d'une matrice unique.

D'accord. Merci beaucoup pour votre aide

De rien !

Si je peux me permettre une suggestion : refais tout ce travail seul(e), pour t'habituer à trouver les stratégies permettant de trouver les solutions.
Bon courage.

oui je vais bien sur les refaire (vu que j'ai des examens blancs à la rentrée)