borne supérieure

[magy]

Bonjour,
voila mon probleme:
Soient A et B deux parties bornées de R.On note A+B={a+b/a∈A et b∈B}
1)Montrer que supA+supB est un majorant de A+B
2)Montrer que sup(A+B)=supA+supB
Pour la premiere question j'ai pensé comme suit:
supA est la borne superieure de A donc supA est un majorant de A,supB est la borne superieure de B donc supB est un majorant de B.Ainsi supA+supB est un majorant de A+B?

[mtschoon]

Bonjour ( et bon Noel !)

Ton début me semble bon.

Tu peux déduire que A+B est non vide et majoré ( par supA+supB) donc admet une borne supérieure sup(A+B)

Ensuite , tu utilises la définition de borne supérieure.

Soit $ϵ>0$

$\text{\exist a \in a , supa-\frac{\epsilon}{2} \lt a\le supa$
$\text{\exist b \in b , supb-\frac{\epsilon}{2} \lt a\le supb$

En ajoutant membre à membre :

$\text{ supa+supb-\epsilon \lt a+b\le supa+supb$

supA+supB est donc la borne supérieure de A+B et tu tires la conclusion voulue.

[magy]

Donc ici pour repondre a la question,je dois démontrer que supA+supB est la borne superieure de A+b?Ensuite,je ne comprendspas trop les deux lignes du milieux(où il y'a les inegalités)

[mtschoon]

Oui pour ta première question.

Pour les deux lignes du milieu :

la première ligne traduit le fait que supA est la borne supérieure de A
la seconde ligne traduit le fait que supB est la borne supérieure de B

J'ai utilisé des $ϵ/2$ pour qu'en les ajoutant on obtienne un $ϵ$.

[magy]

c'est quoi E?

[mtschoon]

$ϵ$ est un nombre strictement positif ( *que tu peux imaginer aussi petit que tu veux *).

Regarde éventuellement ici pour une définition de borne supérieure.

http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki/doku.php?id=math:2:3_2_6