relation et majorants

bonjour,je coince sur ceci:
1)Montrer que la relation pRq<=>∃k∈N*,q^k muni N* d'une sructure partiellement ordonnée.
2)Determiner les majorants de {2,3} pour cette ordre.

Bonjour,
ta définition de la relation est incomplète : il manque p.
Est-ce pRq ⇔ p = q^k ?

Non,j'ai l'énoncé tel quel

Enfin, relis :
Citation
pRq<=>∃k∈N*,q^kIl y a p à gauche du signe d'équivalence, et pas à droite : ça ne veut rien dire.

Donc,il y' a une erreur dans mon énoncé

C'est vrai que normalement il doit y avoir p

C'est probablement ce que je t'ai déjà proposé :
Citation
pRq ⇔ p = q^kSi la définition demeure incomplète, toute aide est impossible.

Supposons que cela soit comme vous avez dit pRq ⇔ p = q^k,donc je montre ici qu'on a une relation d'ordre partielle?

Oui, vérifie que la relation est réflexive, ...

Soit p∈N*
on a p=p,donc pRp,d'où R est réflexive.
Soit p,q∈N*,on a:
p=q^k⇒q^k=p,donc pRq⇒qRp,d'où R est symetrique.
Soit p,q,s∈N*,on a:
p=q^k et q^k =s,donc p=s
Donc pRq et qRs alors pRs,d'où R est transitive
R est une relation d'ordre
Mais je bloque pour montrer que R est partielle,car je pense que on peut ecrire p=q^k ou q^k=p?

Apparemment tu n'as pas compris.
Pour la réflexivité (de R, pas de l'égalité !) :
il existe un entier non nul k tel que p = p^k.
Quel est ce k ?

c'est 1?

Oui.
Il existe un entier non nul (ici 1) tel que p = p^k, ceci pour tout p de N*, donc la relation est réflexive.

Une relation d'ordre doit être antisymétrique, pas symétrique.
Autrement dit, tu dois démontrer que si pRq et qRp, alors p = q.
Je commence, si pRq, il existe un entier k non nul tel que p = q^k.
Si qRp, il existe un entier h (à priori ce n'est pas le même que k) tel q = p^h.
Continue.

On a p=q^k et q=p^h donc p=q?

C'est ce qu'il faut démontrer.
Dans l'égalité p = q^k, remplace q par p^h
Qu'obtiens-tu ?

j'obtiens:p=p^h

Non.
Tu obtiens p = (p^h)^k = p^(hk)
Mais p = p^1, donc hk = 1
Et dans N*, il n'y a qu'une possibilité : ....

Qu'entendez vous par dans N*, il n'y a qu'une possibilité

Citation
hk = 1
Dans Q ou R, il y aurait une infinité de possibilités, par exemple k = 2/3 et h = 3/2, ou encore k = 5/11 et h = 11/5, afin que le produit vaille 1.
Dans Z, il y a deux possibilités : k = h = 1 ou k = h = -1.
Mais dans N, il n'y a plus qu'une seule possibilité : laquelle ?

k=1 et h=1

Oui.
Et donc, puisque k=1, p = q^1 = q.
On a bien montré que p = q. la relation est antisymétrique.
Avant de passer à la transitivité, et compte tenu des difficultés que tu sembles éprouver, je te conseille de relire ce que j'ai fait. L'important pour toi n'est pas de tout faire, mais de comprendre et d'acquérir des méthodes.
Refais (sans regarder) les démonstrations de la réflexivité et de l'antisymétrie avant de passer à autre chose.

D'accord!

Propose une démonstration de la transitivité seulement quand tu seras sûr de toi.

voilà ce que je propose:
Soient p,q,s∈N*
Montrons que si pRq et qRs alors pRs.
pRq⇔∃k∈N* tel que p=q^k
qRs⇔∃j∈N* tel que q=s^j
Remplaçons q par sa valeur:
p=s^j^k=s^(jk)
Comme p=p^1 donc p^1=s^(jk);donc jk=1
p=s^1,ainsi ∃r∈N* tel que p=s^r donc tel que pRs
R est transitive

Le début, jusqu'à p = s^(jk) est correct, mais la suite ne convient pas.
Citation
donc p^1=s^(jk);donc jk=1Non, il faudrait pour cela que p soit égal à s, ce qui n'est pas le cas en général.
Mais p = s^(jk) suffit : jk = h est un entier non nul, et p = s^h signifie que pRs.

ok,mais pour montrer que c'est partiellement ordonnée,comment je démontre qu'on a pas pRq ou qRp?

Il suffit d'exhiber un exemple pour p et q de manière qu'on n'ait ni pRq ni qRp

Si je prends p=2 et q=3,k=2,h=4
2=3^2 ou 3=2^4,c'est impossible,donc R est partielle?

C'est presque ça.
Mais toi tu imposes des valeurs à k et h, alors que la question qui doit se poser est :
existe-t-il k tel que 2 = 3^k ?
existe-t-il h tel que 3 = 2^h ?
La réponse est non dans les deux cas (avec k et h entiers non nuls) : 2 n'est pas une puissance de 3, et 3 n'est pas une puissance de 2.

D'accord!Pour la deuxieme question je ne comprends pas trop,je determine les majorants de l'ensemble 2 et 3 dans N*?

L'ensemble est E = {2;3}
Un majorant de cet ensemble est un élément m de N* tel que xRm pour tout x de E.
Comme ici, E n'a que deux éléments, on cherche m tel que 2Rm et 3Rm.
Trouve des majorants de 2, des majorants de 3. Y a-t-il des majorants communs ?

les majorants de 2:4,5,6,7....
les majorants de 3:4,5,6...
il y'a des majorants communs

Non : tu mélanges.
Il ne s'agit pas des majorants pour la relation d'inégalité usuelle (<) mais pour la relation R.
Par exemple, 4 est un majorant de 16 car 16R4 puisque 16 = 4².

OK,comme majorant de 2,on a 2 car 2=2^1 et comme majorant de 3 on a 3 car 3=3^1?

C'est ça.
Y en a-t-il d'autres ?
Y a-t-il des majorants communs ?

Non,il n'y a pas d'autres majorants et il n'y a pas de majorants communs.

D'accord, à condition bien sûr que la relation R soit bien celle qu'on a décidé de prendre (puisque l'énoncé était incomplet), et que l'ensemble à majorer soit bien {2;3}.
Si cet ensemble est par exemple {2;8}, il y a un majorant : 2.

ok,merci beaucoup pour votre aide!!

De rien.
Bon courage.