Loi binomiale-Poisson-Probabilité conditionnelle

Bonsoir,

Pour dire la vérité, je n'ai pas demandé qu'on me corrige cette fois ci, parce que je n'ai même pas compris la problématique! J'aimerai bien que quelqu'un me l'explique. J'ai trouvé cet exercice sur le net par hasard et ça me perturbe. L’énoncée est la suivante:

Une compagnie d’assurance propose à ses clients un nouveau contrat annuel destiné à les couvrir en cas de vol dans leur résidence secondaire. Sur base d’une étude statistique, la compagnie estime que six résidences secondaires sur 100 sont cambriolées au moins une fois par an et que la valeur des biens volés dépasse 100000 une fois sur 50.

Supposons que 10 clients prennent l’assurance proposée.
a. Quelle est la probabilité que la compagnie ne doive pas intervenir ?
b. Quelle est la loi du nombre de clients pour lesquels l'assurance va intervenir?
c. Quelle est la probabilité qu’elle doive intervenir pour deux clients au moins ?

Supposons que 100 clients prennent l’assurance proposée.
d. Donnez une prévision du nombre de clients qui bénéficieront de l’intervention de l’assurance.
e. A l’aide d’une approximation adéquate, calculer la probabilité que l’assurance doive intervenir pour 3 clients au moins.

On considère seulement 2 clients. On appelle X le nombre de clients qui seront cambriolés et Y le nombre de clients cambriolés pour lesquels la valeur des biens volés dépasse 100000. Calculez la probabilité P(Y=1/X=2)

Je m'excuse si l'exercice est un petit peu long, merci en tout les cas.

Bonjour,

Effectivement , l'énoncé est long.

Je me contente de t'indiquer quelques idées pour te permettre de faire l'exercice, si tu le souhaites.

Pour a)b)c) , utilise la loi binomiale B(10 , 6/100)

Pour d) , la loi binomiale B(100, 6/100) peut être approchée par la loi de Poisson P(100 x 6/100) c'est à dire P(6)

Pour e) , probabilité conditionnelle

Ah, je vois petit à petit les choses maintenant.

Tout d'abord la loi de Bernoulli de paramètre 0,06 nous permet d'écrire:
{x}={0,1}, ainsi P(x=1)=0,06 et P(x=0)=1-P(x=1)=0,94

Ainsi, z=x1+x2...+x10, d'ou z suit une loi binomiale de (10 ; 0,06)

a) P(z=0)=10C0×(0,06)^0×(0,94)^10
b) je pense que la réponse sur cette question est ce que j'ai écrit au début. Je ne vois pas le calcul ici...
c) P(z=2)=10C2×(0,06)²×(0,94)^8

d)Il s'agit d'une approximation de la loi binomiale de B(100 ; 0,06)
Puisque, 100≥50 et 0,06<0,1 et 100×0,06=6>5 on ne peut approximer celle loi binomiale par la loi de Poisson.
En effet, mon cours dit que pour établir une approximation il faut que np (à savoir 100×0,06 dans l'exercice) soit ≤ 5. Est ce que ce n'est pas nécessaire ou quoi?

En tout cas, j'ai fermé l’œil et j'ai continuer...
dans ce cas là B(100 ; 0,06) ≈ P(6)

e)P(z>3)=1-P(z≤3) = 1 -[P(z=0) + P(z=1) + P(z=2) + P(z=3)]

la dernière question, P(Y=1/X=2), est ce qu'il s'agit ici d'établir le tableau de la loi de v.a de (x;y) pour'y répondre ?

Je regarde (rapidement ) tes réponses.

Fais attention au c)

"deux clients au moins" ne veut pas dire 2

p(X ≥ 2) = 1-[p(X=0) + p(X=1)]

Pour le d) , ce que tu indiques est très restrictif.

De façon usuelle , la loi B(n,p) peut-être approchée par la loi P(np) lorsque :
p ≤ 0.1 , n ≥ 30 , np < 15

Pour la dernière question, tu n'as qu'un cas à faire.

Hmmmm... Alors il suffit de calculer P(Y=1/X=2)=P(Y=1∩X=2)/P(X=2)?
Mais on a pas la valeur de l'intersection, et il n'est pas indiqué que les deux v.a X et Y sont indépendantes...

Utilise la définition de probabilité conditionnelle

Soit A et B les deux clients ( il n'y en a que deux dans cette question )

Sachant que X=2 , tu est dansl'hypothèse où A et B se sont fait cambrioler.

Dans ce contexte , tu cherches la probabilité que Y=1

Y=1 veut dira que l'un des deux clients s'est fait voler pour plus de 100000€ et l'autre moins de 100000€

Donc : ou bien A s'est fait voler plus de 100000€ ( probabilite 0.02 ) pendant que B s'est fait voler moins de 100000€ ( probalité 0.98 ) ou bien le contraire.

$\text{p_{x=2}(y=1)=(0.02\times 0.98) + (0.98\times 0.02)=2\times 0.02\times 0.98$

Vous savez je n'aurai pas penser de faire une telle chose, vraiment. Je comprend maintenant, merci beaucoup comme d'habitude, mais je veux juste savoir qu'est ce que vous designer pas la définition de la probabilité conditionnelle s'il vous plait? Parce que la définition que je connaie c'est celle qui contient en elle l'intersection...

Ce que j'ai appelé la "définition" de $p_b(a)$ , (mais tout dépend de ton cours) c'est faire le calcul de probabilité directement dans l'ensemble B.

Ah ça on a pas vu, est ce que vous pouvez me donner la formule générale s'il vous plait?

Comme je te l'ai indiqué, sachant queB est réalisé, on peut raisonner directement dans l'ensemble B, si l'énoncé s'adapte à cela. C'est tout.

Aaaah, merciiiiii pour les nouvelles informations.
Bonne journée !

Bonne journée à toi aussi.