Algèbre linéaire. Surjectivité.

Salut tout le monde,

Bah voila, je ne suis pas entrain de chercher comment résoudre ce problème, c'est déja fait et en classe. le problème c'est que je ne comprend pas la réponse de mon professeur sur la 5ème question, et j'ai du posté tout l'exercice puisque les questions sont interdépendantes. Je serai tellement reconnaissante à la personne qui m’expliquera.

L'exercice dit soit B=(e1, e2, e3) de la base canonique de R3, f est l'endomorphisme de R3 définit par (x,y,z)=(z+y,x-z,z)
1)Déterminer Ker(f)
2)Calculer l'image par f de la base B
3)Déduire la base de Im(f)
4)Calculer le rang de f
5)f est elle surjective?

La réponse sur la question5: Im(f) est un SEV de R³ et la DimR³=3 donc Im(f)=R³ d'ou f est surjective.

Merci.

Bonjour,

La réponse à la question 5 est parfaite .

Je ne vois pas trop ce qui te gène.

Tu as dû trouver que (f(e1),f(e2),f(e3)) est une base de Imf , d'où la dimension 3 de Imf
$R^{3 }$ est de dimension 3
Le seul SEV de dimension 3 de $R^{3 }$ est $R^3$ lui même donc $Imf=R^3$

Vu que $R^3$ =Imf (ensemble d'arrivée) , tout triplet (X,Y,Z) de $R^3$ (ensemble d'arrivée) est l'image de au moins un triplet (x,y,z) de $R^3$ (ensemble de départ)

C'est le définition même de la surjectivité de f.

Aaaah, je sais pas l'avais pas saisi du tout, mais maintenant je vois les choses.
Une toute petite chose, si la dimension de l'image est strictement inférieure à celle de l'espace d'arrivée, l'application n'est pas surjective, mais si la dimension de l'image est strictement supérieur à celle de l’espacé d'arrivée?

Imf est un SEV de $R^3$ .
Sa dimension ne peut pas lui être strictement supérieure.

Ah d'accord, merciiiiiiiiiiiii.

De rien .

Je m’excuse, mais je voudrai bien me renseigner sur quelques propositions dans notre cours des applications linéaires

On a:

1)u est injective ssi l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.
Dans ce cas là, si l'image de la base de E est une famille libre de F, est ce qu'on peut parler d'une relation d'injectivité?

2)Aussi, si Dim(E)=Dim(F) cela veut dire que u est bijective.
Dans ce cas, si on parle d'une AL de R² vers R² est ce qu'on peut tous simplement dire qu'elle est bijective?

Je vais « tenter » de te donner quelques précisions.

NOTATIONS :

Soit E un E.V de dimension finie p avec pour base B : $e_1$ , $e_2$ ,…, $e_p$ )
Soit F un E.V de dimension finie n
Soit f une application linéaire de E vers F
Soit Im(f) l’image de E par f
Soit B’ $f(B)=(f(e_1$ ), $f(e_2$ ),… $f(e_p$ ))
Soit rg= rang de f = rang de B’= dimension de Im(f)

**f injective < = > B’ est libre dans F < = > rg = p

f surjective < = > B’ est génératrice dans F < = > rg = n

f bijective < = > B’ est une base de F < = > rg = p =n**

Aaaah, d'accord d’accord, merciiii infiniment !

De rien ( et essaie d'avoir des informations sur ton énoncé de probabilité, si tu peux évidemment )