Produit de sous groupes

[Claudinette96]

Bonjour,
Est-ce que le sous groupe d'un groupe produit est nécessairement un produit de deux sous groupes. On donne dans mon cours, en infirmant, ce contre-exemple:
{(x,x), x∈Z} est un sous groupe de $(Z^2$,+) mais ce n'est pas un produit de sous groupes.
Mais je ne comprends pas pourquoi n'est ce pas un produit de deux sous groupes.
y a t-il quelqu’un pour m’expliquer?
Merci!

[Claudinette96]

Voilà comment j'ai raisonné:
Si l'on suppose que l'exemple fourni définit un produit de sous groupes, ces deux sous groupes sont nécessairement des sous ensembles E et F infinis de Z. On peut donc trouver e∈E et f∈F avec e≠f. Ainsi (e,f)∈(E,F). Donc e=f. Contradiction.
Est-ce correcte ou suis-e complètement à côté?
Merci!

[mathtous]

Bonjour,
Il me semble que ton raisonnement est juste.