Matrice et formule générale

[brom2]

Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide ici :

On considère la matrice M=(3 -1 1/ -1 3 1/ 1 -1 3).
a) On pose B=M-3I3. Calculer $B^3$ et en déduire $B^k$ pour tout N*
b) Déterminer alors l'expression de $M^n$ en fonction de n pour tout n de N

J'ai fait :

a) $B^3$=(0 -1 1/ -1 0 1/1 -1 0) = M-3I3 et je trouve pareil pour $B^5$, $B^7$...je ne parviens pas à trouver une formule générale ?

b) $M=B+3I_3$ donc $M$^n$=(B+3I$_3${)}^n$
je fais une somme mais je ne connais pas le $B^n$

Merci de m'aider

[mtschoon]

Bonjour,

Piste ,

En faisant les calculs successifs , tu dois constater que :

$b^1=b^3=b^5=b^7=...b^2=b^4=b^6=b^8=...$

Tu conjectures que :

Pour n impair( n=2k+1 avec k ∈ Z ) : $b^n=b^{2k+1}=b$

Pour n pair( n=2k avec k ∈ Z* ) : $b^n=b^{2k}=b^2$

Tu le prouves parrécurrence.

[brom2]

bonjour ;

a) Donc je dois prouver ces deux conjectures par récurrence.

D'accord je vois comment faire

b) Par contre ici, comme j'ai deux conjecture, comment je peux développer la somme en tenant compte des deux ? $A^n$ a t-il deux formules possibles?

[mtschoon]

Tu peux voir le cas n pair et le cas n impair , mais ce n'est pas tout!

Pour trouver la formule générale , je te suggère d'utiliser la formule du binôme pour développer $(b+3i_3{)}^n$

Au sein de ce développement, tu fais deux regroupements :
regroupement des termes pour lesquels l'exposant de B est pair ( et où les $B^{2k}$ pourront être remplacer par B²
regroupement des termes pour lesquels l'exposant de B est impair ( et où les $B^{2k+1}$ pourront être remplacer par B

Ainsi, tu obtiendras une expression de la forme B²(....)+B(....)

Bon courage pour les calculs .

[brom2]

je vais essayer