Analyse de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction en un point

Bonjour,

J'ai eu cet exercice mais je ne comprends pas, pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.

Voici l'énoncer :

Soit a et b deux nombres réels. On définit la fonction f: R→R par

f(x) = ax+b si x ≤ 0
et
f(x) = 1/ (1+x) si x > 0

Questions:

Donner une condition sur b pour que f soit continue sur R.
Déterminer a et b tels que f soit dérivable sur R et dans ce cas, calculez f'(0).

Merci de votre aide.

Bonjour,

Pistes,

Sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[ la continuité et la dérivabilité se justifient facilement.

Le problème se pose pour x=0

1)Avec la première formule

$\fbox{ f(0)=b} \ \ \lim_{x\to 0\x \lt 0}(ax+b)=b$

donc continuité à gauche en 0

Avec la seconde formule

$\lim_{x\to 0\x \gt 0}(\frac{1}{1+x})=1$

Tu en déduis la valeur de b pour assurer la continuité à droite en 0

Si f n'était pas continue en 0 elle ne pourrait pas est dérivable en 0 ( car dérivabilité => continuité )

Nécessairement b prend la valeur trouvée à la question 1)

Pour la dérivabilité ( à gauche et à droite en 0 ), je conseille de passer par le taux, c'est à dire de calculer :

$\lim_{h\to 0\h \lt 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

$\lim_{h\to 0\h \gt 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

et de tirer la conclusion.

(Sauf erreur, tu dois trouver b=1 et a=-1)