Analyse de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction en un point



  • Bonjour,

    J'ai eu cet exercice mais je ne comprends pas, pourriez vous m'aider ? S'il vous plait.

    Voici l'énoncer :

    Soit a et b deux nombres réels. On définit la fonction f: R→R par

    f(x) = ax+b si x ≤ 0
    et
    f(x) = 1/ (1+x) si x > 0

    Questions:

    1. Donner une condition sur b pour que f soit continue sur R.
    2. Déterminer a et b tels que f soit dérivable sur R et dans ce cas, calculez f'(0).

    Merci de votre aide.



  • Bonjour,

    Pistes,

    Sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[ la continuité et la dérivabilité se justifient facilement.

    Le problème se pose pour x=0

    1)Avec la première formule

    f(0)=b  limx0\x<0(ax+b)=b\fbox{ f(0)=b} \ \ \lim_{x\to 0\x \lt 0}(ax+b)=b

    donc continuité à gauche en 0

    Avec la seconde formule

    limx0\x>0(11+x)=1\lim_{x\to 0\x \gt 0}(\frac{1}{1+x})=1

    Tu en déduis la valeur de b pour assurer la continuité à droite en 0

    1. Si f n'était pas continue en 0 elle ne pourrait pas est dérivable en 0 ( car dérivabilité => continuité )

    Nécessairement b prend la valeur trouvée à la question 1)

    Pour la dérivabilité ( à gauche et à droite en 0 ), je conseille de passer par le taux, c'est à dire de calculer :

    limh0\h<0f(0+h)f(0)h\lim_{h\to 0\h \lt 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    limh0\h>0f(0+h)f(0)h\lim_{h\to 0\h \gt 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    et de tirer la conclusion.

    (Sauf erreur, tu dois trouver b=1 et a=-1)


 

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