Matrice inversible

Bonsoir à tous,

J'ai un DS très prochainement et je bloque sur la résolution de cet exercice (j'ai mis des , entre les termes de la matrice pour éviter toute confusion)

Pour quelles valeurs de a réel, la matrice :
$M_a$ =$\begin{pmatrix}1-a , -4 ,-7\3 , -2-a , -3\-3 , 4, 5-a\end{pmatrix}$ est elle non inversible ?

Pour ces valeurs, résoudre $M_a$ *$\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix}$
Je pense qu'il faut résoudre le système :
$\ 3x+(-2-a)y-3z=y' \ -3x+4y+(5-a)z=z'$

mais comment choisir a à chaque étape de résolution ? il faut que le système n'est pas de solutions pour que la matrice ne soit pas inversible ?

Merci de m'expliquer en détaillant si possible

Bonjour,

J'ignore ce que dit ton cours, mais le plus simple me semble être d'utiliser le déterminant.

$strong>M_a$ non inversible <=> $Det(M_a$ )=0

Tu calcules le déterminant.

Sauf erreur et après factorisation:

$\text{det(m_a)=-(a-2)(a^2-2a-8)$

$\text{det(m_a)=0 \leftrightarrow -(a-2)(a^2-2a-8)=0 \leftrightarrow a=2 ou a=-2 ou a=4$

Tu dois donc résoudre le système pour ces 3 valeurs de a ( et tu trouveras, pour chacune de ces valeurs que le système est indéterminé (infinité de solutions) ouimpossible(aucune solution)

et si on m'avait demandé d'inverser cette matrice, comment aurais-je du faire ?

Pour a≠2 ,a≠-2, a≠4, $M^{-1}$ existe

Par définition :

$m×m−1=m−1×m=i3m\times m^{-1}=m^{-1}\times m = i_3$ (système à résoudre )

Remarque : dans ton cours, tu as peut-être une disposition pratique avec M et $I_3$ ( en triangularisant la matrice avec la méthode de pivot de Gauss, pour trouver $M^{-1}$ )

j'ai essayé de résoudre le système mais je ne vois pas comment vous faites pour trouver les valeurs de déterminant...pouvez vous me détailler juste le début ? quelles lignes choisissez vous ?

en fait c'est bon j'ai réussi merci