Une maison sans fenêtres


  • M

    Bonjour à tous et heureuse année.

    Ce sujet s’apparente plus à une « curiosité » qu’à une « énigme » puisqu’il n’y a pas de « réponse » à donner. En revanche, vos « commentaires » seront les bienvenus.
    Bien que ne nécessitant que des prérequis élémentaires, il s’adresse toutefois à des personnes ayant une certaine habitude à manipuler des notions ensemblistes, notamment à des enseignants ou des personnes s’apprêtant à le devenir.
    Je me permets de reprendre ici des éléments d’une ancienne « énigme » qui avait à l’époque provoqué certaines controverses concernant l’ensemble vide.

    Mais revenons pour commencer à nos maisons.
    Il y a fort longtemps, à une époque où la plupart d’entre vous étaient encore dans les limbes, on nous apprenait l’orthographe à l’école primaire (du moins on essayait).
    On nous disait alors que dans l’expression « une maison sans fenêtres », « fenêtres » doit être écrit au pluriel. La raison ? Ce qu’on désigne communément par « maison » (pas « hutte » ou « cabane ») comporte généralement plusieurs fenêtres.
    Mais alors, peut-on qualifier de « maison » une habitation n’ayant aucune fenêtre ?
    Oui si « maison » et « fenêtre » sont des « génériques » (désignant un genre entier ou un élément non particulier).
    Toutefois, l’écriture « une maison sans fenêtre » (« fenêtre » au singulier) est tolérée (mais pas par les puristes).
    De nos jours, même, l’écriture « une messon cent fenaitre » est considérée comme non fautive. La raison ? On comprend ce que l’auteur a voulu dire (pas sûr à cause du « cent » …).

    Dans le même ordre d’idée, nous pouvons dire que l’ensemble vide est un ensemble sans éléments. Si on tient absolument au singulier, on peut conseiller de dire que l’ensemble vide est un ensemble n’ayant aucun élément (« aucun » forçant le singulier).
    Je suis alors en droit d’écrire [tous les éléments de l’ensemble vide sont égaux], affirmation qui m’avait valu les foudres de certains.
    Pourtant cet énoncé est rigoureusement vrai, et ce n’est pas une conventionmais une conséquence des propriétés élémentaires sur les ensembles et les propositions qui leur sont associées.
    Si on quantifie cet énoncé, on obtient : [∀x∈∅, ∀y∈∅, x = y]. Pourquoi cet énoncé est-il vrai ? Tout simplement parce que sa négation est fausse.
    Négation qui s’écrit : [ ∃x∈∅,  ∃y∈∅, x ≠ y] et qui est évidemment fausse puisqu’il n’existe aucun x et aucun y dans l’ensemble vide qui vérifient quoi que ce soit.
    D’ailleurs, nous parlons, et là tout le monde en convient, de l’ensemble vide, ce qui sous-entend que tous les ensembles vides sont égaux.
    Et comment démontre-t-on que deux ensembles sont égaux ? En démontrant que tout élément de l’un appartient à l’autre et réciproquement.
    Inversement, deux ensembles sont différents s’il existe un élément de l’un n’appartenant pas à l’autre. Ainsi, si A et B sont deux ensembles vides, peut-on trouver un élément de l’un n’appartenant pas à l’autre ? Non puisque ces ensembles n’ont pas d’éléments (pluriel recommandé). Les deux ensembles vides n’étant pas différents, ils sont donc bien égaux.

    En conclusion, on peut dire que si p(x) est un énoncé quelconque faisant intervenir ou non le symbole x, tout énoncé de la forme [ ∃x∈∅, p(x)] est toujours faux.
    Et par conséquent, tout énoncé de la forme [∀x∈∅, p(x)] est toujours vrai.
    Ainsi, [∀x∈∅, ∀y∈∅, x = y] est vrai. Remarquez que l’énoncé [∀x∈∅, ∀y∈∅, x ≠ y] est vrai également. Tous les éléments de l’ensemble vide sont à la fois égaux et différents. Étonnant, non ? (Enigmes et curiosités …)

    Pour plus d’informations, vous pouvez consulter sur mon site (n’hésitez pas à commenter) : Réflexions sur la logique formelle.

    Ou mieux encore, de Paul Halmos : Introduction à la théorie des ensembles (Naive set Theory) : un petit livre d’à peine plus de cent pages, accessibles à tous, facile à lire, mais qui après réflexion est plus profond qu’il n’y parait de prime abord.
    Voyez notamment la page 17 relative à ce sujet : condition réalisée au sens « vide ».

    Bonne lecture.


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