3. Montrer qu'une fonction exponentielle est dérivable et calculer sa dérivée

Montrer qu'une fonction exponentielle est dérivable et calculer sa dérivée

  • C

    Bonjour
    J'ai un souci avec cet exercice:
    Soit f la fonction:
    si x ≠ 0 f(x)=e−1/x2f(x)=e^{-1/x 2}f(x)=e−1/x2
    f(0)=0

    1/ Montrer que f est dérivable en 0 et que sa dérivée f' est elle aussi dérivable en 0 [question faite, je trouve 0 comme nombre dérivé de 0 dans chacun des deux cas].
    2/ Généraliser le résultat à l'ordre n quelconque en calculant f(n)f^{(n)}f(n)(0). [Là je suis bloquée. Dois-je chercher l'expression de la n-ième dérivée, et comment?]
    Merci de votre aide.

    M 1 réponse
  • M

    Bonjour,
    Sans expliciter complètement f(n)f^{(n)}f(n)(x) pour x≠0, on peut peut-être regarder si f(n)f^{(n)}f(n)(x) est de la forme [P[P[P_n(x)/x(x)/x(x)/x^{3n}]e−1/x²]e^{-1/x²}]e−1/x² où Pn est un polynôme de degré strictement inférieur à 3n.
    Regarde si tu peux démontrer cela par récurrence.

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