Montrer qu'une suite est convergente et trouver ses limites

Bonjour,

Je n'arrive pas à démarrer la résolution de cet exercice :

On considère la suite S définie par: pour tout n de N*, $S_n$ =∑(de k=1 à n) $1/k^3$ . En utilisant T définie par, pour tout n de N, $T$ _n $S_n$ +1/n² montrer que la suite S est convergente montrer que sa limite L vérifie 251/216<L<275/216.

Faut il déjà que je calcule $T$ _{n+1} $T_n$ ?

merci de m'expliquer la démarche

Bonjour,
Montre que les deux suites sont adjacentes.
Quant aux inégalités, il suffit de calculer S3 et T3.

donc je montre que Sn est croissante ou décroissante et que Tn aussi ?

Pour Sn, je trouve qu'elle est décroissante : $S$ _{n+1} $- S$ _n $= 1 / (n + 1)$ ^3 $1/n^3$ donc décroissante

Pour Tn, $T$ _{n+1} $- T$ _n $1/(n+1)^3$ +1/n² $1/n^3$ -1/n²

je ne suis pas sure de mes calculs

Vérifie tes calculs :
Sn+1 - Sn = 1/(n+1)³
Tn+1 - Tn = Sn+1 - Sn + 1/(n+1)² - 1/n² = 1/(n+1)³ + 1/(n+1)² - 1/n².
Achève.

Les deux suites sont donc adjacentes avec Sn croissante et Tn décroissante.

Je peux éventuellement calculer leur limite ?

Pour encadrer, $S_3$ =1/1+ $1 / 2$ ^3 $1/3^3$
$T_3$ =1/1+ $1 / 2$ ^3 $1/3^3$ +1/3²

Tu as démontré que (Sn) est croissante et (Tn) décroissante ? Que Sn < Tn ?
Que les deux suites sont adjacentes ?
Si oui, elles ont la même limite comprise entre S3 et T3
Effectue les calculs de S3 et T3.

ce n'est pas ce qu'il fallait répondre ?

Sn-Tn=-1/n² qui converge vers 0 donc oui adjacentes

S3= 251/216=1.16

S4=275/216=1.27

mai il faut que je montre que Sn est convergente, j'ai supposé qu'elle y était donc que : L=?

Citation
Sn-Tn=-1/n² qui converge vers 0 donc oui adjacentesQue la différence tende vers 0, cela ne suffit pas pour que les deux suites soient adjacentes.
L'une doit être croissante, l'autre décroissante, et tout élément de la première inférieur à tout élément de l'autre. (Avec en plus évidemment que la différence tend vers 0).

Citation
251/216=1.16Cette égalité est fausse (ainsi que la suivante) : n'écris pas d'égalité avec des valeurs approchées. Garde les écritures fractionnaires (c'est d'ailleurs ce qu'on te demande).

Tu dois savoir que deux suites adjacentes non seulement convergent mais ont la même limite, donc coincée entre les termes des deux suites.

d'accord.

malgré vos explications, je ne vois pas mes erreurs. Les calculs faits pour démontrer que Sn est croissante et Tn décroissante me semblent justes...et pareil pour S3 et T3...je ne comprends pas

Dans ton message de 16h33; tu trouves (Sn) décroissante alors qu'elle est croissante. Ce n'est pas une erreur ?
Dans ma réponse à 16h 49 je t'indique les bonnes valeurs, mais je t'ai demandé d'achever les calculs : ils ne sont ni justes ni faux puisque pas effectués.
En plus, il faut les exploiter.

Pour S3 et T3, les calculs sont justes si tu donnes les valeurs fractionnaires exactes, pas si tu les remplaces par des valeurs approchées.
Lis ce que j'écris et médite.

Sn+1 - Sn = 1/(n+1)³
Tn+1 - Tn = Sn+1 - Sn + 1/(n+1)² - 1/n² = 1/(n+1)³ + 1/(n+1)² - 1/n² $n^3$ +2n²-1)/(n² $n+1)^3$ )=(n+2-1/n² $n+1)^3$

je ne suis pas sure de la pertinence de mon résultat

Pour Sn+1 - Sn, c'est évident, et le résultat étant positif, Sn+1 > Sn : la suite est bien croissante.
Pour Tn+1 - Tn le calcul est faux : je trouve (sans garantie !)
(-n² -3n -1)/(n²(n+1)³) dont on peu être sûr que le résultat est négatif, et par suite que la suite (Tn) est décroissante.
Revois ce calcul.

d'accord je vais le refaire j'ai du faire une erreur de calcul.

Donc comment justifier que Sn est convergente ?

Pas avant d'avoir complètement démontré que les deux suites sont adjacentes (afin de majorer Sn).

"L'une doit être croissante, l'autre décroissante, et tout élément de la première inférieur à tout élément de l'autre. (Avec en plus évidemment que la différence tend vers 0)"

Dans mon cours, on a seulement dit qu'il fallait démontrer leur monotonie puis démontrer une limite tendant vers 0. Donc pour que tout élément de la première oit inférieur à tout élément de l'autre, je dois démontrer que Sn-Tn<0 en fait ?

Soit : Sn-Tn=Sn-Sn-1/n²=-1/n² on trouve un résultat inférieur à 0 donc OK les suites sont bien adjacentes.

Pour majorer Sn je ne vois pas comment m'y prendre.

Sn < Tn est en fait une conséquence de ta définition : il n'est pas indispensable de l'établir.
Par contre, tu n'as toujours pas démontré que (Tn) est décroissante : as-tu vérifié mes calculs ?
Il faut également établir que Tn - Sn tend vers 0 : évident puisque cette différence vaut 1/n².
Résumons car je finis par ne plus savoir où on en est :
(Sn) croissante : fait
Tn - Sn tend vers 0 : fait
(Tn) décroissante : inachevé.

(-n² -3n -1)/(n²(n+1)³) dont on peu être sûr que le résultat est négatif, et par suite que la suite (Tn) est décroissante. Oui je retrouve pareil. Donc ok.

Bien.
Les deux suites étant adjacentes, elles ont la même limite L
De plus, Sn < L < Tm (n et m peuvent être différents.
Mais en particulier, S3 < L < T3
Ce qui donne les inégalités demandées puisque tu as déjà calculé S3 et T3.

d'accord. Je vais essayer de tout reprendre. Merci beaucoup pour votre aide

De rien.
A+