Comment faire l'étude d'une suite

[brom2]

Bonjour,

On me demande d'étudier la suite u définie par $u_0$=5/2 et $u$_{n+1}$=u$_n$e$^{u_n$-3}$.

J'ai d'abord étudié la suite définie par :

$f(x)=x{e}^{x-3}$. Cette fonction est décroissante sur ]-oo;-1[ et croissante sur ]-1:+oo[. Sa limite en -oo est 0 et en +oo est +oo ainsi que f(-1)=-e^-4.

Pour répondre à l'exercice, je ne vois pas comment poursuivre merci de m'aider

[mtschoon]

Bonsoir,

Quelques pistes possibles,

Tu peux peut-être commencer par calculer quelques termes pour conjecturer le comportement de la suite.

Tu peux prouver que pour tout n de N : 0 < $U_n$ < 3 ( récurrences )

Avec cela, tu peux trouver le signe de $U$_{n+1}$-U_n$ ( négatif)

$(U_n$) décroissante et minorée donc convergente vers un réel l

La résolution de l=f(l) te permettra d'obtenir la valeur de l ( choisis la "bonne" valeur, car la résolution te donnera deux réponses )

Bon travail.

[brom2]

d'accord merci je vois comment faire cette méthode .

Par contre, l'énoncé de mon exercice m'oblige à passer par l'étude de la fonction et j'aimerais du coup savoir comment en déduire l 'étude de la suite

[mtschoon]

L'étude de f est une autre façon de trouver le sens de variation de la suite

Tu prouves que pour tout n de N : Un > 0 ( récurrence)

Tu es donc dans le cas où la fonctionf est croissante

Tu démontres que la suite (Un) est monotone

Idée à détailler :

Pour tout n de N, $U${n+2}$-U${n+1}$=f(U${n+1}$)-f(U_n$) : même signe que $U${n+1}$-U_n$

Tu calcules $U_1$et tu trouves que $U_1$ < $U_0$

Tu peux déduire que**(Un) est décroissante**.

Pour la convergence, regarde mon précédent message.

[brom2]

d'accord merci

[mtschoon]

De rien.

Bonnes suites!