Degré et coefficient dominant



  • Bonjour, je ne parviens pas à faire cette exercice, je pense qu'il faut faire une récurrence double mais je ne sais pas comment m'y prendre.

    Voici l'énoncé :

    Soit P la suite de polynôme définie par P0P_0=1 et pour tout n appartient à N, PP_{n+1}=XPn=XP_n+(X²-1)P'n_n.
    Après avoir calculé P1P_1, P2P_2 et P3P_3, déterminer le degré et le coefficient dominant de PnP_n pour tout n de N.

    J'ai calculé les polynomes demandés soit :

    P1P_1=X+(X²-1)*0=X
    P2P_2=X²+(X²-1)=2X²-1
    P3P_3=X(2X²-1)+(X²-1)4X=2X²-X+4X²-4X=6X²-4X-X

    pour la suite je suis bloquée merci !


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste,

    Je te suggère de recompter P3

    Je te suggère aussi de calculer P4

    Observe bien le premier terme de chaque polynome trouvé : il se conjecture facilement.

    Ensuite, petite récurrence



  • oui en effet : PP_3=6X3=6X^3-5X



  • C'est juste maintenant.
    Fais comme Mtschoon t'a suggéré : calcule P4.
    On voit aisément quel est le degré de Pn, mais P4 t'aidera mieux à trouver le coefficient dominant.



  • PP_4=X(6X3=X(6X^3-5X)+(X²-1)(18X-5)= 6X6X^4+18X3+18X^3-10X²-18X+5=

    le coeff dominant est la puissance 4



  • La dérivée de P3 est fausse.
    De toute façon, 6 n'est pas une puissance de 4.



  • oui dérivée de P3 est 18X²-5 donc je trouve finalement :

    X(6X3X(6X^3-5X)+(X²-1)(18X²5)=6X4-5)=6X^4-5X²+18X4+18X^4-5X²-18X²+5

    j'ai du mal à connaitre la méthode pour déterminer un coefficient ou degré dominant ?



  • Oui, mais réduis.



  • 24X424X^4-28X²+5


  • Modérateurs

    Conjecture.

    p0=1 p1=1x p2=2x2+... p3=6x3+... p4=24x4+... p5=120x5+...p_0=1 \ p_1=1x \ p_2=2x^2+... \ p_3=6x^3+... \ p_4=24x^4+... \ p_5=120x^5+...



  • Citation
    j'ai du mal à connaitre la méthode pour déterminer un coefficient ou degré dominant ?Observe la relation donnée ente Pn+1P_{n+1} et Pn : comment obtenir le terme de plus haut degré de Pn+1P_{n+1} ? (sans t'occuper des autres termes).



  • il semble que : PP_{n+1}=Pn=P_n*n


  • Modérateurs

    non.

    Analyse seulement le terme de plus fort degré.



  • c'est 120 ici mais ça peut encore augmenter...désolé je ne comprends pas trop les polynomes surtout que cet exercice est dans ma colle


  • Modérateurs

    Observe.

    2=1×2 6=1×2×3 24=1×2×3×4 120=1×2×3×4×52=1\times 2 \ 6=1\times 2\times 3 \ 24=1\times 2\times 3\times 4 \ 120=1\times 2\times 3\times 4\times 5
    .....
    .....


  • Modérateurs

    Tu ne connais pas les factorielles ?



  • si je connais, on aurait affaire ici aux factorielles?


  • Modérateurs

    1=0!
    1=1!
    2=2!
    6=3!
    24=4!
    120=5!
    ...

    le degré de P0 est 0 et le coefficient dominant de P0 est 0!
    le degré de P1 est 1 et le coefficient dominant de P1 est 1!
    le degré de P2 est 2 et le coefficient dominant de P2 est 2!
    le degré de P3 est 3 et le coefficient dominant de P3 est 3!
    le degré de P4 est 4 et le coefficient dominant de P4 est 4!
    ...
    ...

    Si le terme de coefficient dominant te gène, regarde ici:

    http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/coefdominant.html



  • ok donc le degré de PnP_n est n! pour tout n de N


  • Modérateurs

    Ne confonds pas degréet coefficient dominant.

    Consulte le site que je t'ai suggéré.

    Tu conjectures que : le degré de Pn est n et le coefficient dominant de Pn est n!

    Il te reste à faire une récurrence pour le prouver



  • d'accord donc :

    Soit TnT_n la propriété tel que PnP_n ait pour degré n et comme coefficient dominant n!

    Initialisation : Pour n=0, P0P_0=1 or 1!=1 donc propriété vraie
    Hérédité: Soit un n tel que TnT_n est vraie alors :

    je bloque pour l"hérédité, comment passer au n+1 ?
    (merci pour le site)



  • Selon l'hypothèse de récurrence, PnP_n = n!Xnn!X^n + ...
    On ne s'occupe pas des termes suivants puisqu'on s'intéresse seulement au terme de plus haut degré.
    Tu utilises alors l'égalité donnée :
    Pn+1P_{n+1} = XPnXP_n + (x² - 1)P'<em>n<em>n
    P</em>n+1P</em>{n+1} = X(n!XnX(n!X^n + ...) + (x²1)(n!nXn1-1)(n!nX^{n-1} + ...)
    Isole le terme de plus haut degré dans ce calcul.



  • je ne comprends pas votre deuxième égalité



  • Si PnP_n = n!Xnn!X^n + ..., par quoi débute P'n_n ?(tu sais dériver).



  • P'n débute par nn!Xn1nn!X^{n-1}


  • Modérateurs

    oui.

    En utilisant seulement les termes de plus fort degré, tu obtiens :

    pn+1=x(n!xn)+.........+x2(n!nxn1)+............p_{n+1}=x(n!x^n)+.........+x^2(n!nx^{n-1})+............

    pn+1=n!xn+1+.........+n!nxn+1+............p_{n+1}=n!x^{n+1}+.........+n!nx^{n+1}+............

    pn+1=n!xn+1(1+n)+............p_{n+1}=n!x^{n+1}(1+n)+............

    Vu que n!(n+1)=(n+1)!n!(n+1)=(n+1)!, tu tires la conclusion.

    PS : Je regarde ce que tu as écrit pour l'initialisation :

    Citation
    Initialisation : Pour n=0, P0=1 or 1!=1 donc propriété vraie
    Fais attention : il faut indiquer 0!=1 ( au lieu de 1!=1 )



  • ok donc j'écris la conclusoin en disant que l'hérédité est vraie et je conclus ainsi le problème?


  • Modérateurs

    oui, si tu as écrit pn+1=(n+1)!xn+1+....p_{n+1}=(n+1)!x^{n+1}+.....

    Je te suggère de refaire tout ça seul(e) pour être sûr(e) de maîtriser.



  • oui ça c'est sur !


  • Modérateurs

    Bon courage !


 

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