Degré et coefficient dominant

Bonjour, je ne parviens pas à faire cette exercice, je pense qu'il faut faire une récurrence double mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Voici l'énoncé :

Soit P la suite de polynôme définie par $P_0$ =1 et pour tout n appartient à N, $P$ _{n+1} $XP_n$ +(X²-1)P' $_n$ .
Après avoir calculé $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ , déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_n$ pour tout n de N.

J'ai calculé les polynomes demandés soit :

$P_1$ =X+(X²-1)*0=X
$P_2$ =X²+(X²-1)=2X²-1
$P_3$ =X(2X²-1)+(X²-1)4X=2X²-X+4X²-4X=6X²-4X-X

pour la suite je suis bloquée merci !

Bonjour,

Piste,

Je te suggère de recompter P3

Je te suggère aussi de calculer P4

Observe bien le premier terme de chaque polynome trouvé : il se conjecture facilement.

Ensuite, petite récurrence

oui en effet : $P$ _3 $6X^3$ -5X

C'est juste maintenant.
Fais comme Mtschoon t'a suggéré : calcule P4.
On voit aisément quel est le degré de Pn, mais P4 t'aidera mieux à trouver le coefficient dominant.

$P$ _4 $X(6X^3$ -5X)+(X²-1)(18X-5)= $6 X$ ^4 $18X^3$ -10X²-18X+5=

le coeff dominant est la puissance 4

La dérivée de P3 est fausse.
De toute façon, 6 n'est pas une puissance de 4.

oui dérivée de P3 est 18X²-5 donc je trouve finalement :

$X(6X^3$ -5X)+(X²-1)(18X² $5)=6X^4$ -5X² $18X^4$ -5X²-18X²+5

j'ai du mal à connaitre la méthode pour déterminer un coefficient ou degré dominant ?

Oui, mais réduis.

$24X^4$ -28X²+5

Conjecture.

$p_0=1 \ p_1=1x \ p_2=2x^2+... \ p_3=6x^3+... \ p_4=24x^4+... \ p_5=120x^5+...$

Citation
j'ai du mal à connaitre la méthode pour déterminer un coefficient ou degré dominant ?Observe la relation donnée ente $P_{n+1}$ et Pn : comment obtenir le terme de plus haut degré de $P_{n+1}$ ? (sans t'occuper des autres termes).

il semble que : $P$ _{n+1} $P_n$ *n

non.

Analyse seulement le terme de plus fort degré.

c'est 120 ici mais ça peut encore augmenter...désolé je ne comprends pas trop les polynomes surtout que cet exercice est dans ma colle

Observe.

$120=1×2×3×4×52=1\times 2 \ 6=1\times 2\times 3 \ 24=1\times 2\times 3\times 4 \ 120=1\times 2\times 3\times 4\times 5$
.....
.....

Tu ne connais pas les factorielles ?

si je connais, on aurait affaire ici aux factorielles?

1=0!
1=1!
2=2!
6=3!
24=4!
120=5!
...

le degré de P0 est 0 et le coefficient dominant de P0 est 0!
le degré de P1 est 1 et le coefficient dominant de P1 est 1!
le degré de P2 est 2 et le coefficient dominant de P2 est 2!
le degré de P3 est 3 et le coefficient dominant de P3 est 3!
le degré de P4 est 4 et le coefficient dominant de P4 est 4!
...
...

Si le terme de coefficient dominant te gène, regarde ici:

http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/coefdominant.html

ok donc le degré de $P_n$ est n! pour tout n de N

Ne confonds pas degréet coefficient dominant.

Consulte le site que je t'ai suggéré.

Tu conjectures que : le degré de Pn est n et le coefficient dominant de Pn est n!

Il te reste à faire une récurrence pour le prouver

d'accord donc :

Soit $T_n$ la propriété tel que $P_n$ ait pour degré n et comme coefficient dominant n!

Initialisation : Pour n=0, $P_0$ =1 or 1!=1 donc propriété vraie
Hérédité: Soit un n tel que $T_n$ est vraie alors :

je bloque pour l"hérédité, comment passer au n+1 ?
(merci pour le site)

Selon l'hypothèse de récurrence, $P_n$ = $n!X^n$ + ...
On ne s'occupe pas des termes suivants puisqu'on s'intéresse seulement au terme de plus haut degré.
Tu utilises alors l'égalité donnée :
$P_{n+1}$ = $XP_n$ + (x² - 1)P' $< e m > n$
$P</em>{n+1}$ = $X(n!X^n$ + ...) + (x² $1)(n!nX^{n-1}$ + ...)
Isole le terme de plus haut degré dans ce calcul.

je ne comprends pas votre deuxième égalité

Si $P_n$ = $n!X^n$ + ..., par quoi débute P' $_n$ ?(tu sais dériver).

P'n débute par $nn!X^{n-1}$

oui.

En utilisant seulement les termes de plus fort degré, tu obtiens :

$p_{n+1}=x(n!x^n)+.........+x^2(n!nx^{n-1})+............$

$p_{n+1}=n!x^{n+1}+.........+n!nx^{n+1}+............$

$p_{n+1}=n!x^{n+1}(1+n)+............$

Vu que $n! (n + 1) = (n + 1)!$ , tu tires la conclusion.

PS : Je regarde ce que tu as écrit pour l'initialisation :

Citation
Initialisation : Pour n=0, P0=1 or 1!=1 donc propriété vraie
Fais attention : il faut indiquer 0!=1 ( au lieu de 1!=1 )

ok donc j'écris la conclusoin en disant que l'hérédité est vraie et je conclus ainsi le problème?

oui, si tu as écrit $p_{n+1}=(n+1)!x^{n+1}+....$ .

Je te suggère de refaire tout ça seul(e) pour être sûr(e) de maîtriser.

oui ça c'est sur !

Bon courage !