équa diff du 2nd ordre



  • Bonjour,

    je suis en pleine révisions pour mes partiels qui sont dans 5jr et je n'arrive pas à résoudre 2 équations différentiels car je n'en ai pas fait en cours. Les voici:

    1°) x" - 2x' + 5x = 10cos(t)
    2°) x" - 3x' + 2x = e^t sin(3t)

    Si quelqu'un peut m'aider à les résoudre en détaillant la réponse ce serais très sympa!!

    Merci



  • Salut.

    Généralement, on commence par chercher les solutions de l'équation sans second membre. Il reste ensuite à trouver une solution particulière de l'équation complète pour achever la résolution complète.

    Pour la 2de ED :
    On s'occupe de l'équation sans second membre : x'' - 3x' + 2x = 0.
    en cherchant une solution sous forme exponentielle t -> ekte^{kt} avec k app/ R, on a
    k2k^2 ekte^{kt} - 3k ekte^{kt} + 2ekt2e^{kt} = 0
    soit k² - 3k + 2 = 0.
    Alors k = 1 ou k = 2.
    Ainsi toute solution de la forme t -> A ete^t + B e2te^{2t} est solution de l'équation sans second membre (où A, B app/ R).
    Il existe un théorème assurant que toute les solutions de cette équation sans second membre sont données par cette expression.
    Il te "reste" à déterminer une solution particulière de l'équation complète :
    x'' - 3x' + 2x = ete^t sin(3t)
    il me semble sous la forme t -> ete^t (u sin(3t) + v cos(3t)), avec u, v app/ R.

    La première ED conduit à des exponentielles complexes. On peut aussi donner les solutions à valeurs réelles. On verra une autre fois !



  • Oui alors donc, dans le cas de la 1re ED, on a à résoudre
    k² - 2k + 5 = 0, soit k = 1-2i ou k = 1+2i.
    Si l'on veut les solutions de l'équation sans second membre à valeurs réelles, il est connu qu'elles sont toutes données par
    t -> ete^t (u cos(2t) + v sin(2t), avec u, v app/ R.

    en fait, dans l'exponentielle, on prend la partie réelle de 1+2i, et dans les sin et cos, on prend la partie imaginaire, comme coefficients.
    Il s'agit de compléter ceci par la recherche d'une solution particulière de l'équation complète, ie x" - 2x' + 5x = 10 cos(t) : on la cherche (à ce qu'il me semble) sous la forme t -> A cos(t) +B sin(t), avec A, B deux réels à déterminer.



  • On dit qu'il faut d'abors trouver l'équation homogène associée!...que de souvenir de l'an passé!Hummm!


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