Diagonalisation

Bonjour à tous,
j'ai un exercice que je ne comprend pas bien :
On considère la matrice suivante de M3(R)
A= $18,−18,−8amp;)\begin{pmatrix} 13,-12,-6 \ 6,-5,-3\ 18,-18,-8 & \end{pmatrix}$
Montrer que cette matrice est diagonalisable
Expliciter une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles que
A = P D $P^{-1}$ . calculer $A^k$ .
pour commencer je ne comprend pas la première question .
j'ai déterminé équation caractéristique et je trouve
$P_A$ (X) = - (1-X)²(2+X) on constate que P admet 2 solutions donc deux valeurs propres de A . or A est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique admettait 3 valeurs propres puisque a est de d'ordre 3 .

Bonjour,
Une matrice est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P.D. $P^{-1}$
Si ses valeurs propres sont toutes distinctes, la matrice est diagonalisable, mais c'est une condition suffisante non nécessaire.
Le sev associé à la valeur propre -2 est une droite vectorielle, mais le sev associé à la valeur propre 1 est un plan vectoriel.
Tu peux vérifier que le premier est engendré par (2;1;3) et le second par les deux vecteurs (1;1;0) et (0;1;-2) (vérifie qu'il n'y a pas d'erreur).
Tu peux donc prendre P=
2;1;0
1;1;1
3;0;-2

Je te laisse continuer.

je comprend , mais je ne trouve pas les mêmes résultats que vous :
pour le plan j'ai compris mais je trouve une équation de la forme
2x - 2y -z = 0 ce qui donne en posant X (x,y,z) = Vect{ (1,0,2), (0,1,-2) }
pour le sous espace associé a -2 , je trouve ( 2,3,1) . mais l'essentiel était de comprendre la première question. le reste est purement calculatoire. merci

J'ai la même équation que toi pour le plan.
Mais combien y a-t-il de bases pour ce plan ?
Une infinité : j'en ai trouvé une, tu en as trouvé une autre, et on pourrait peut-être les combiner...

"combiner" c'est à dire?

gulp !
Les mélanger, par exemple (1;1;0) et (1;0;2).
Remarque que ton second vecteur est le même que le mien : (0;1;-2).