Calculer la limite d'une fonction avec racines carrées



  • calculer la limite suivante :

    limx0x+13x+14x\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x}



  • Bonjour !

    1/12 ?



  • oui c'est juste mathtous mais je cherche la façon comment ta procéder pour trouver 1/12 ok

    c'est très facile de taper la fonction sur une calculatrice et et la voir



  • Bonjour !( un petit bonjour fait plaisir ! )

    Je vois que maintenant, la rubrique a changé. C'est mieux ainsi.

    Zakaria, hier, ta question était dans la rubrique "Enigme", tu as donc eu une réponse "énigmatique". C'est logique!

    Mathtous, s'il le souhaite, t'indiquera la méthode qu'il a utilisée, bien sûr (et évidemment sans calculette!)

    En attendant, je t'indique une méthode usuelle que tu peux utiliser pour ce type de question (qui n'a rien d'une énigme): tu cherches un D.L. de la fonction au voisinage de 0 et tu déduis automatiquement la limite. Cela se fait très bien.
    C'est un exercice classique, niveau Bac+1



  • bonjour

    Modératrice je cherche pas a résoudre la limite avec la calculatrice ni avec le développement limité , et je peu te dire que c'est un exercice niveau bac même pas bac +1 donc les méthode de luniv a la poubelle.
    je cherche une méthode niveau bac pour le résoudre merci , je sais qu'il a utiliser le D.L ou bien la calculatrice programmable donc j'ai besoin d'une démonstration ok ma modératrice
    bien a vous



  • on plus ma chère modératrice en mathématique il y a pas réponse énigmatique ou non énigmatique , un mathématicien il a l'esprit de démontrer ok il me dit est égale 1/12 et ben prouve le moi 😉



  • Difficile de te lire (évite les fautes de français ...).
    Les DL ne te plaisent pas ?
    Alors, sachant que x+1 ≥ 0, tous les nombres qui suivent sont positifs.
    Pose y = x+1
    Puis y = z12z^{12} (z positif)
    Ton quotient s'écrit z³(z1)/(z12(z-1)/(z^{12} - 1)
    Besoin de détailler davantage ?



  • Une autre idée si tu veux. Tu n'as que l'embarras du choix !

    Je préfère ( et de loin ) les D.L.( qui ont une valeur générale ) mais si tu veux encore une démonstration niveau TS, tu peux te ramener à la définition du nombre dérivé en 0

    $f(x)=\frac{{(x+1)^{\frac{1}{3}}-1}}{x}-\frac{{(x+1)^{\frac{1}{4}}-1}}{x} \$

    Tu poses

    $g(x)={(x+1)^{\frac{1}{3}}$
    $h(x)={(x+1)^{\frac{1}{4}}$

    limx0f(x)=g(0)h(0)=....=1314=112\lim_{x\to 0} f(x)=g'(0)-h'(0)=....=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}



  • ta 1 er repense est fausse si x tends vers 0 alors z tends vers koi? n'importe koi.
    ta 2 eme méthode c'est juste , mais on peu faire autrement aussi



  • le français ce n'est pas ma langue , je suis pas français moi donc au moins je communique avec toi et tu comprends un peu , mais je pense que si c'été toi qui veux essaye de parler ma langue maternelle avec moi dans un autre site , tu va même pas savoir ni lire ni écrire une seule lettre !!!!!!



  • Zakaria, tu dis avoir compris la démonstration que je t'ai proposée avec le nombre dérivé : c'est très bien.

    Par contre , nous ne pouvons pas te laisser écrire, au sujet de la méthode suggérée par Mathtous :
    Citation
    ta 1 er repense est fausse si x tends vers 0 alors z tends vers koi? n'importe koi.
    Cette méthode est exacte et ne nécessite aucune connaissance d'enseignement supérieur; c'est ce que tu veux.

    REFLECHIS:

    Lorsque x tend vers 0, tu peux trouver facilement vers quoi tend z !!!
    Tu obtiens ainsi une indétermination : en levant cette indétermination ( niveau Première ), tu obtiendras la limite souhaitée.

    Tu as eu ainsiTROIS propositions pour répondre à ta question.
    Cela est largement suffisant.

    La discussion est donc terminée.

    REMARQUE :Ici, nous aidons un demandeur à faire son exercice en lui donnant des pistes, mais on ne fait pas l'exercice à sa place.



  • bon pour moi le sujet n'est pas encore terminer et je ne comprends pas pourquoi tu ferme juste mon sujet !!! bon vos deux repenses sont pas tops utiliser en TS, voila la bonne méthode enseigner pour les TS en détaille

    ${\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{3}]{x+1} -1\right)-\left(\sqrt[{4}]{x+1} -1\right)}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -1}{x} -\frac{\sqrt[{4}]{x+1} -1}{x} \right)$

    donc ${\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -1}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{3}]{1} \right)\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)}{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{3} } -\sqrt[{3}]{1^{3} } }{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +\sqrt[{3}]{1^{2} } \right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{x}{x\left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +1\right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{3}]{x+1} +1} \right)=\frac{1}{3} avec \sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{3} } {\rm =|x+1|=x+1\ par ce que x tend vers 0$

    et $\lim \limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{4}]{x+1} -1}{x} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\left(\sqrt[{4}]{x+1} -\sqrt[{4}]{1} \right)\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +\sqrt[{4}]{1^{3} } \right)}{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +\sqrt[{4}]{1^{3} } \right)} \right) \ {\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{4} } -\sqrt[{4}]{1^{4} } }{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1\right)} \right)={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{x}{x\left(\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1\right)} \right) \ {{\rm ; };avec;\sqrt[{4}]{x+1} =|x+1|=x+1{\rm ; par; ce; que; x; tend; vers; 0}} \ {={\lim }\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{3} } +\sqrt[{4}]{\left(x+1\right)^{2} } +\sqrt[{4}]{x+1} +1} \right)=\frac{1}{4}$

    donc limx0(x+13x+14x)=1314=112\lim \limits_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[{3}]{x+1} -\sqrt[{4}]{x+1} }{x} \right)=\frac{1}{3} -\frac{1}{4} =\frac{1}{12}


 

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