Trigonalisation

Bonjour à tous.
Je ne comprends pas bien la trigonalisation. Voulez-vous m'expliquer un peu comment ça marche avec cet exemple.
Soit A = $1amp;−1amp;0)\begin{pmatrix} 5& -4& -3\ 2& -1& -1\ 1& -1& 0\end{pmatrix}$

On me demande de trigonaliser A .
J'ai déjà trouvé le polynôme caractéristique, $P_A$ (X) = -( $X-1)^2$ (X-2)
Les valeurs propres sont 1 et 2.
$V_1$ ( 1,1,0) est un vecteur propre associé à 1 et $V_2$ (5,3,1) est un vecteur propre associé à 2 . Et c'est là que je bloque.

Bonjour,
Le sev associé à la valeur propre simple 2 est engendré par V2 et est de dimension 1 comme il se doit.
Mais le sev associé à la valeur propre 1, qui est double, est engendré par V1, donc de dimension 1 inférieure à 2.
Par suite, A est trigonalisable mais pas diagonalisable.
V1 et V2 ne constituent pas une base de R³ : il faut compléter pour obtenir une base, par exemple avec le vecteur V3 = (1,0,0).
Vérifie que les 3 vecteurs constituent bien une base.

oui, j'ai vérifié et les trois vecteurs constitue une base . mais comment avez trouvé $V_3$ ?

Je l'ai simplement choisi, le plus simple possible. Naturellement, il y a d'autres choix, ce qui conduit à d'autres écritures, mais c'est sans importance.

donc si je veux bien comprendre, il faut choisir au hasard et ensuite verifier?

Quand même pas trop au hasard : il faut observer les vecteurs qu'on a déjà.