Decompsition de Dunford

Bonjour à tous
Voulez-vous m'aider à faire la décomposition de Dunford de la matrice suivante :
A = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 3& 1& -1\ -2& 0& 2\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$

le polynôme caractéristique est : $P_A$ (X) = - $X-1)^2$ (X-2)

Bonjour, quelqu'un peut il m'aider à traiter cet exercice?

Bonjour,
Commençons par la valeur propre simple : 2.
Le sev propre associé est une droite vectorielle engendrée par v2 = (1,-1,0).

Pour la valeur propre 1 qui est double, c'est moins simple (sans jeu de mots).
Le sev propre est encore une droite engendrée par V1 = (1,-2,0).
Peux-tu déjà vérifier mes calculs ?

Oui, je trouve les mêmes résultats que vous

Bon, la suite provient d'une méthode (il en existe d'autres) vue sur internet.
Il nous faut une base de R³, V2 et V1 ne suffisent pas.
On cherche v'3 tel que v'3 ∈Ker(A-1I)².
Je trouve v'3 = (1,-2,1) (Il y en a évidemment d'autres).
Peux-tu vérifier.

Bonjour,
OK j'ai vérifié et je trouve même V3 et les trois vecteurs formes une base.

Rebonjour,
Oui, mais ce n'est pas V'3 qu'on va garder.
On remarque que (A-I)V'3 ∈ Ker(A-I), donc (A-I)V'3 est colinéaire à V1 :
En fait, on vérifie que (A-I)V'3 = -V1.
On choisit donc V3 = -V'3 = (-1,2,-1).
Soit L la matrice dont les colonnes sont V2,V1,V3 (dans cet ordre).
C'est une matrice de passage, tu as besoin de calculer $L^{-1}$ : je te laisse effectuer ce calcul afin de vérifier avec ce que je trouve.

voici ce que je trouve $L^{-1}$ = $0amp;0amp;−1)\begin{pmatrix} 2& 1& 0\ -1& -1& -1\ 0& 0& -1\end{pmatrix}$

Je trouve cela aussi.
Calcule maintenant J = $L^{-1}$ AL.
Tu dois trouver une matrice triangulaire (ça sent bon).

je trouve J = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 2& 0& 0\ 0& 1& 1\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$

Oui : J s'écrit donc : J = D' + N' avec D' =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
et N' =
0 0 0
0 0 1
0 0 0
D' est diagonale et N' nilpotente (immédiat).
De plus, D' et N' commutent (immédiat).
Puisque J = $L^{-1}$ AL, alors A = $LJL^{-1}$
Donc A = LD' $L^{-1}$ + LN' $L^{-1}$ = D + N
où D est diagonalisable puisque D' est diagonale, et N est nilpotente.
De plus N et D permutent puisque D' et N' permutent.
Ces vérifications ne nécessitent aucun nouveau calcul.
A = N + D est donc la décomposition cherchée.
Bien sur, tu peux expliciter D et N.

résumé :

on cherche une matrice passage inversible donc les colonne sont formés des coordonnées vecteurs associé au valeurs propres
on trigonalise la matrice la matrice A
la matrice trigonale trouvée , on fait sortir une matrice diagonale et une matrice nilpotente
on remonte maintenant jusqu'à la matrice A .
mais pourquoi n'avons nous pas utiliser V $^'$ $_3$ ?

Pas tout à fait cela.
Il n'y a que 2 vecteurs propres.
La matrice de passage est entre A et une matrice (J) triangulaire, mais de forme particulière : c'est pourquoi on choisit V3 et pas V'3 : on a une matrice J plus simple.
Je n'ai pas vérifié ce que cela donne avec V'3 : regarde, tu auras une autre matrice J mais aussi une autre matrice L. Obtient-on le même résultat final ?

Apres calculs j'obtiens
L = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1& 1& 1\ -1& -2& -2\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$

$L^{-1}$ = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 2& 1& 0\ -1& -1& -1\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$

ensuite J = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 2& 0& 0\ 0& 1& -1\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$
une question : et si on avait trois valeurs propres, devrons nous considérer les coordonnées trois vecteurs propres comme la matrice de passage

Achève afin d'obtenir D et N : normalement la décomposition est unique. Si donc tu trouves autre chose c'est qu'avec V'3 on n'aboutit pas à la solution.

Avec 3 valeurs propres (distinctes), la matrice est diagonalisable, donc la décomposition de Dunford est immédiate.