Suite arithmétique.



  • Bonjour,

    J'ai trouvé cet exercice dans un livre avec la solution, mais je ne comprend pas deux choses dans leurs explications, j'aimerai bien si quelqu'un peut me l’expliquer s'il vous plait.

    Voici l'exercice: Soit (an)n≥1 une suite numérique non stationnaire tq ∀n∈N; 1ni=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3} Soit ∀n∈N*; bn=annb_{n}=\frac{a_{n}}{n}

    Montrer que (bn)n≥1 est une suite arithmétique.

    Et voici la solution: Soit n de N*, on a 1ni=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3}i=1nai=n3an+1\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{n}{3}a_{n+1}

    aussi bi=aiib_{i}=\frac{a_{i}}{i} d'ou ai=ibia_{i}=ib_{i} pour tout i≥1 donc i=1nibi=n(n+1)3bn+1\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}}=\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}

    ***ici je n'ai pas compris d'ou est venu le "n+1" a coté de n

    Soit sn=i=1nibis_{n}=\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}} pour tout n de N* Donc sn=sn1+nbnsnsn1=nbns_{n}=s_{n-1}+nb_{n} \leftrightarrow s_{n}-s_{n-1}=nb_{n}

    d'ou n(n+1)3bn+1n(n1)3bn=nbn\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}-\frac{n(n-1)}{3}b_{n}=nb_{n}(n+1)bn+1=(n+2)bn\leftrightarrow (n+1)b_{n+1}=(n+2)b_{n}

    donc ∀n∈N*, bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2} puisque bnn+1=ann(n+1)\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n(n+1)} et bnn+1\frac{b_{n}}{n+1} est un suite arithmétique.

    ***Ici je n'ai pas compris pourquoi """ ∀n∈N """ , bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2} parce qu'on va travaillé avec cela juste après, et comment on a su que bnn+1\frac{b_{n}}{n+1} est une suite arithmétique?

    Ainsi (n+1)bn+1(n+2)bn=0bn+1bn=bnn+1=a12(n+1)b_{n+1}- (n+2)b_{n}=0 \leftrightarrow b_{n+1}-b_{n}=\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{1}}{2}

    donc (bn) est un suite arithmétique de raison r=a1/2.

    Merci.



  • Bonjour,

    Tes écritures ne sont pas claires.

    Lorsque tu écrit aiai, tu parles vraiment de aiai ou de aia_i ?

    Même remarque pour bibi : est-ce bibi ou bib_i ?

    Et lorsque tu écrisibiibi ? ? ?

    Merci de vérifier et/ou de modifier au besoin.



  • Je m'excuse! Voila je viens de modifier les écritures.



  • C'est mieux.

    Je réponds à ta première intérrogation

    i=1i=nibi=i=1i=nai=n3an+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}a_{n+1}

    Vu que ai=ibia_i=ib_i , tu peux écire :an+1=(n+1)bn+1a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}

    d'où :

    i=1i=nibi=i=1i=nai=n3(n+1)bn+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}(n+1)b_{n+1}

    J'ai lu les lignes qui suivent, mais tu parles d'un n(n+a)3\frac{n(n+a)}{3}... , je ne sais pas ce que c'est que ce "a"...



  • Ah, je vois! J'ai pas fait attention, j'avait automatiquement travaillé avec n sans considérer l'indice suivant n+1. Merciiiii.

    Aaaaaaaa !! C'est pas "a" en faite, c'est "1", je l'ai corrigé... Je m'excuse encore une fois !



  • C'est mieux...

    Pour ta seconde interrogation

    Tu sais que pour tout n de N* :(n+1)bn+1=(n+2)bn(n+1)b_{n+1}=(n+2)b_n

    Principe à utiliser ( entre réels non nuls 😞 AD=BC <=>ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

    Ici, tu obtiens donc :bnn+1=bn+1n+2\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}

    Ceci étant vrai pour tout n de N* :

    bn+1n+2=bnn+1=bn1n=..=...=b12=a12 car a1=b1\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n-1}}{n}=..=...=\frac{b_1}{2}=\frac{a_1}{2}\ car \ a_1=b_1

    Par contre, lorsque tu écris que(bnn+1)(\frac{b_n}{n+1}) est une suite arithmétique, ça ne va pas...cette suite estconstante.
    Bien sûr, une suite constante est une suite arithmétique de raison 0, mais c'est "constante" qu'il fallait écrire...

    Je te fais le calcul de la fin ( car je ne sais pas si cela fait partie de tes interrogations )

    bn+1=(n+2)a12 bn=(n+1)a12b_{n+1}=(n+2)\frac{a_1}{2} \ b_n=(n+1)\frac{a_1}{2}

    En retranchant membre à membre

    bn+1bn=a12(n+2n1)=a12b_{n+1}-b_n=\frac{a_1}{2}(n+2-n-1)=\frac{a_1}{2}

    Donc :

    bn+1=bn+a12\fbox{b_{n+1}=b_n+\frac{a_1}{2}}

    $\text{(b_n) suite arithmetique de raison \frac{a_1}{2} et de premier terme b_1=a_1$



  • Ah je vois maintenant. Mais comment il fallait que je sache que (bnn+1)\left(\frac{b_{n}}{n+1} \right) est une suite stationnaire? Est ce qu'il fallait juste la déduire de l'égalité bnn+1=bn+1n+2\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2} ?



  • oui, vu que l'égalité dont tu parles est valable pour tout n de N*



  • Merciiiiiiiiiiii et je m'excuse pour les erreurs que j'ai commis...
    Bonne nuit.



  • Pas de problème.

    Bonne journée.


 

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