Suite arithmétique.



  • Bonjour,

    J'ai trouvé cet exercice dans un livre avec la solution, mais je ne comprend pas deux choses dans leurs explications, j'aimerai bien si quelqu'un peut me l’expliquer s'il vous plait.

    Voici l'exercice: Soit (an)n≥1 une suite numérique non stationnaire tq ∀n∈N; 1n∑i=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3}n1i=1nai=3an+1 Soit ∀n∈N*; bn=annb_{n}=\frac{a_{n}}{n}bn=nan

    Montrer que (bn)n≥1 est une suite arithmétique.

    Et voici la solution: Soit n de N*, on a 1n∑i=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3}n1i=1nai=3an+1∑i=1nai=n3an+1\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{n}{3}a_{n+1}i=1nai=3nan+1

    aussi bi=aiib_{i}=\frac{a_{i}}{i}bi=iai d'ou ai=ibia_{i}=ib_{i}ai=ibi pour tout i≥1 donc ∑i=1nibi=n(n+1)3bn+1\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}}=\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}i=1nibi=3n(n+1)bn+1

    ***ici je n'ai pas compris d'ou est venu le "n+1" a coté de n

    Soit sn=∑i=1nibis_{n}=\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}}sn=i=1nibi pour tout n de N* Donc sn=sn−1+nbn↔sn−sn−1=nbns_{n}=s_{n-1}+nb_{n} \leftrightarrow s_{n}-s_{n-1}=nb_{n}sn=sn1+nbnsnsn1=nbn

    d'ou n(n+1)3bn+1−n(n−1)3bn=nbn\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}-\frac{n(n-1)}{3}b_{n}=nb_{n}3n(n+1)bn+13n(n1)bn=nbn↔(n+1)bn+1=(n+2)bn\leftrightarrow (n+1)b_{n+1}=(n+2)b_{n}(n+1)bn+1=(n+2)bn

    donc ∀n∈N*, bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2}n+1bn=n+2bn+1=2b1=2a1 puisque bnn+1=ann(n+1)\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n(n+1)}n+1bn=n(n+1)an et bnn+1\frac{b_{n}}{n+1}n+1bn est un suite arithmétique.

    ***Ici je n'ai pas compris pourquoi """ ∀n∈N """ , bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2}n+1bn=n+2bn+1=2b1=2a1 parce qu'on va travaillé avec cela juste après, et comment on a su que bnn+1\frac{b_{n}}{n+1}n+1bn est une suite arithmétique?
    *

    Ainsi (n+1)bn+1−(n+2)bn=0↔bn+1−bn=bnn+1=a12(n+1)b_{n+1}- (n+2)b_{n}=0 \leftrightarrow b_{n+1}-b_{n}=\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{1}}{2}(n+1)bn+1(n+2)bn=0bn+1bn=n+1bn=2a1

    donc (bn) est un suite arithmétique de raison r=a1/2.

    Merci.



  • Bonjour,

    Tes écritures ne sont pas claires.

    Lorsque tu écrit aiaiai, tu parles vraiment de aiaiai ou de aia_iai ?

    Même remarque pour bibibi : est-ce bibibi ou bib_ibi ?

    Et lorsque tu écrisibiibiibi ? ? ?

    Merci de vérifier et/ou de modifier au besoin.



  • Je m'excuse! Voila je viens de modifier les écritures.



  • C'est mieux.

    Je réponds à ta première intérrogation

    ∑i=1i=nibi=∑i=1i=nai=n3an+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}a_{n+1}i=1i=nibi=i=1i=nai=3nan+1

    Vu que ai=ibia_i=ib_iai=ibi , tu peux écire :an+1=(n+1)bn+1a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}an+1=(n+1)bn+1

    d'où :

    ∑i=1i=nibi=∑i=1i=nai=n3(n+1)bn+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}(n+1)b_{n+1}i=1i=nibi=i=1i=nai=3n(n+1)bn+1

    J'ai lu les lignes qui suivent, mais tu parles d'un n(n+a)3\frac{n(n+a)}{3}3n(n+a)... , je ne sais pas ce que c'est que ce "a"...



  • Ah, je vois! J'ai pas fait attention, j'avait automatiquement travaillé avec n sans considérer l'indice suivant n+1. Merciiiii.

    Aaaaaaaa !! C'est pas "a" en faite, c'est "1", je l'ai corrigé... Je m'excuse encore une fois !



  • C'est mieux...

    Pour ta seconde interrogation

    Tu sais que pour tout n de N* :(n+1)bn+1=(n+2)bn(n+1)b_{n+1}=(n+2)b_n(n+1)bn+1=(n+2)bn

    Principe à utiliser ( entre réels non nuls 😞 AD=BC <=>ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}ba=dc

    Ici, tu obtiens donc :bnn+1=bn+1n+2\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}n+1bn=n+2bn+1

    Ceci étant vrai pour tout n de N* :

    bn+1n+2=bnn+1=bn−1n=..=...=b12=a12 car a1=b1\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n-1}}{n}=..=...=\frac{b_1}{2}=\frac{a_1}{2}\ car \ a_1=b_1n+2bn+1=n+1bn=nbn1=..=...=2b1=2a1 car a1=b1

    Par contre, lorsque tu écris que(bnn+1)(\frac{b_n}{n+1})(n+1bn) est une suite arithmétique, ça ne va pas...cette suite estconstante.
    Bien sûr, une suite constante est une suite arithmétique de raison 0, mais c'est "constante" qu'il fallait écrire...

    Je te fais le calcul de la fin ( car je ne sais pas si cela fait partie de tes interrogations )

    bn+1=(n+2)a12 bn=(n+1)a12b_{n+1}=(n+2)\frac{a_1}{2} \ b_n=(n+1)\frac{a_1}{2}bn+1=(n+2)2a1 bn=(n+1)2a1

    En retranchant membre à membre

    bn+1−bn=a12(n+2−n−1)=a12b_{n+1}-b_n=\frac{a_1}{2}(n+2-n-1)=\frac{a_1}{2}bn+1bn=2a1(n+2n1)=2a1

    Donc :

    $\fbox{b_{n+1}=b_n+\frac{a_1}{2}}$

    $\text{(b_n) suite arithmetique de raison \frac{a_1}{2} et de premier terme b_1=a_1$



  • Ah je vois maintenant. Mais comment il fallait que je sache que (bnn+1)\left(\frac{b_{n}}{n+1} \right)(n+1bn) est une suite stationnaire? Est ce qu'il fallait juste la déduire de l'égalité bnn+1=bn+1n+2\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}n+1bn=n+2bn+1 ?



  • oui, vu que l'égalité dont tu parles est valable pour tout n de N*



  • Merciiiiiiiiiiii et je m'excuse pour les erreurs que j'ai commis...
    Bonne nuit.



  • Pas de problème.

    Bonne journée.


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