Suite arithmétique.

Bonjour,

J'ai trouvé cet exercice dans un livre avec la solution, mais je ne comprend pas deux choses dans leurs explications, j'aimerai bien si quelqu'un peut me l’expliquer s'il vous plait.

Voici l'exercice: Soit (an)n≥1 une suite numérique non stationnaire tq ∀n∈N; $1n∑i=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3}$ Soit ∀n∈N*; $bn=annb_{n}=\frac{a_{n}}{n}$

Montrer que (bn)n≥1 est une suite arithmétique.

Et voici la solution: Soit n de N*, on a $1n∑i=1nai=an+13\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{a_{n+1}}{3}$ ⇔ $∑i=1nai=n3an+1\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}=\frac{n}{3}a_{n+1}$

aussi $bi=aiib_{i}=\frac{a_{i}}{i}$ d'ou $a_{i}=ib_{i}$ pour tout i≥1 donc $∑i=1nibi=n(n+1)3bn+1\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}}=\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}$

***ici je n'ai pas compris d'ou est venu le "n+1" a coté de n

Soit $sn=∑i=1nibis_{n}=\sum_{i=1}^{n}{ib_{i}}$ pour tout n de N* Donc $sn=sn−1+nbn↔sn−sn−1=nbns_{n}=s_{n-1}+nb_{n} \leftrightarrow s_{n}-s_{n-1}=nb_{n}$

d'ou $n(n+1)3bn+1−n(n−1)3bn=nbn\frac{n(n+1)}{3}b_{n+1}-\frac{n(n-1)}{3}b_{n}=nb_{n}$ $↔(n+1)bn+1=(n+2)bn\leftrightarrow (n+1)b_{n+1}=(n+2)b_{n}$

donc ∀n∈N*, $bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2}$ puisque $bnn+1=ann(n+1)\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n(n+1)}$ et $bnn+1\frac{b_{n}}{n+1}$ est un suite arithmétique.

***Ici je n'ai pas compris pourquoi """ ∀n∈N """ , $bnn+1=bn+1n+2=b12=a12\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_{1}}{2}=\frac{a_{1}}{2}$ parce qu'on va travaillé avec cela juste après, et comment on a su que $bnn+1\frac{b_{n}}{n+1}$ est une suite arithmétique?
*

Ainsi $(n+1)bn+1−(n+2)bn=0↔bn+1−bn=bnn+1=a12(n+1)b_{n+1}- (n+2)b_{n}=0 \leftrightarrow b_{n+1}-b_{n}=\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{a_{1}}{2}$

donc (bn) est un suite arithmétique de raison r=a1/2.

Merci.

Bonjour,

Tes écritures ne sont pas claires.

Lorsque tu écrit $a i$ , tu parles vraiment de $a i$ ou de $a_i$ ?

Même remarque pour $b i$ : est-ce $b i$ ou $b_i$ ?

Et lorsque tu écris $i b i$ ? ? ?

Merci de vérifier et/ou de modifier au besoin.

Je m'excuse! Voila je viens de modifier les écritures.

C'est mieux.

Je réponds à ta première intérrogation

$∑i=1i=nibi=∑i=1i=nai=n3an+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}a_{n+1}$

Vu que $a_i=ib_i$ , tu peux écire : $a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}$

d'où :

$∑i=1i=nibi=∑i=1i=nai=n3(n+1)bn+1\sum_{i=1}^{i=n}ib_i=\sum_{i=1}^{i=n}a_i=\frac{n}{3}(n+1)b_{n+1}$

J'ai lu les lignes qui suivent, mais tu parles d'un $n(n+a)3\frac{n(n+a)}{3}$ ... , je ne sais pas ce que c'est que ce "a"...

Ah, je vois! J'ai pas fait attention, j'avait automatiquement travaillé avec n sans considérer l'indice suivant n+1. Merciiiii.

Aaaaaaaa !! C'est pas "a" en faite, c'est "1", je l'ai corrigé... Je m'excuse encore une fois !

C'est mieux...

Pour ta seconde interrogation

Tu sais que pour tout n de N* : $n+1)b_{n+1}=(n+2)b_n$

Principe à utiliser ( entre réels non nuls AD=BC <=> $ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Ici, tu obtiens donc : $bnn+1=bn+1n+2\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}$

Ceci étant vrai pour tout n de N* :

$a1=b1\frac{b_{n+1}}{n+2}=\frac{b_n}{n+1}=\frac{b_{n-1}}{n}=..=...=\frac{b_1}{2}=\frac{a_1}{2}\ car \ a_1=b_1$

Par contre, lorsque tu écris que $(bnn+1)(\frac{b_n}{n+1})$ est une suite arithmétique, ça ne va pas...cette suite estconstante.
Bien sûr, une suite constante est une suite arithmétique de raison 0, mais c'est "constante" qu'il fallait écrire...

Je te fais le calcul de la fin ( car je ne sais pas si cela fait partie de tes interrogations )

$bn=(n+1)a12b_{n+1}=(n+2)\frac{a_1}{2} \ b_n=(n+1)\frac{a_1}{2}$

En retranchant membre à membre

$bn+1−bn=a12(n+2−n−1)=a12b_{n+1}-b_n=\frac{a_1}{2}(n+2-n-1)=\frac{a_1}{2}$

Donc :

$\fbox{b_{n+1}=b_n+\frac{a_1}{2}}$

$\text{(b_n) suite arithmetique de raison \frac{a_1}{2} et de premier terme b_1=a_1$

Ah je vois maintenant. Mais comment il fallait que je sache que $(bnn+1)\left(\frac{b_{n}}{n+1} \right)$ est une suite stationnaire? Est ce qu'il fallait juste la déduire de l'égalité $bnn+1=bn+1n+2\frac{b_{n}}{n+1}=\frac{b_{n+1}}{n+2}$ ?

oui, vu que l'égalité dont tu parles est valable pour tout n de N*

Merciiiiiiiiiiii et je m'excuse pour les erreurs que j'ai commis...
Bonne nuit.

Pas de problème.

Bonne journée.