polynôme de Hermite

[matan]

Bonsoir,
je suis en prépa MPSI et j'ai un DM et je bloque sur les questions 4 et 6
on note f la fonction de classe C ${}^{\infty }$sur R définie pr f(x) = exp(-x²)

en posant H0=1 et la relation de récurrence Hn+1= H'n-2XHn

(Hn) est la suite de polysomes de Hermite et elle va nous permettre de calculer les dérivées successives de la fonction f.

1. montrer que Hn est un polynome de degré n avec un coefficient dominant que l'on précisera
   j'ai fait une récurrence pour montrer que Hn est de degré n et le coefficient dominant est (-2)n
2. montrer que Hn(-X)= $(-1{)}^n$Hn que peut on en déduire pour n sur les coefficients de Hn ?
   j'ai fait une réccurence pour montrer l'égalité

mais je ne sais pas ce qu'on peut en déduire pour n
Est ce suffisant de dire que le coeff change de signe en fonction de la parité de n ?
3) montrer que $f^{(n)}$(x)= Hn(x) exp(-x²)
là encore j'ai montrer par récurrence

4)en constatant que f'(x)+2xf(x)=0 trouver à l'aide de la formule de Leibniz une relation entre Hn, Hn+1 et Hn+2
je sais qu'il faut dériver plusieurs fois mais je n'y arrive pas
je sais que le résultat est Hn+2=-2XHn+1-2(n+1) Hn
5) en déduire H''-2XH'n+2nHn=0
j'ai utilisé Hn+1= H'n-2XHn <=> H'n=2XHn+Hn+1 donc H'n+1=2XHn+1+Hn+2 et en remplaçant Hn+2 par le résultat de la question 4, j'ai retrouvé l'équation différentielle
et là je bloque sur la question 6

6) dans toute cette question, on se fixe un entier naturel n
6a) montrer qu'il existe une suite réelle $(a_k$) telle que Hn =∑ de k=0 à l'infini de $a$k$X^k$et quelque soit k supérieur à n+1, ak =0
6b) montre que (k+2) (k+1) $a</em>k+2$ = 2 (k-n) $a_k$
6c) en déduire la valeur de $a_{n-2p}$ en fonction de 3 factorielles, d'une puissance de -1 et d'une puissance de -2
6d) donner l'expression de Hn pour x appartenant à R , la valeur de $f^{(n)}$(x)

merci de m'aider pour les questions 2,4 et 6
par avance merci beaucoup et bonne soirée
matan

[mtschoon]

Bonjour,

Fred t'a répondu, ailleurs.

Va voir.