polynome minimal

[pierresimpore]

Bonjour à tous,
aidez moi à résoudre cet exercice :
soit A = $\left(\begin{array}{ccccccc}0& amp;1& amp;11& amp;0& amp;10& amp;0& amp;1\end{array}\right)$

1. Déterminer le polynôme minimal de A
2. en deduire un calcul rapide de $A^{-1}$ ; $A^3$ ; $A^{-3}$
   je sais que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique mais je ne sais pas comment trouver ce polynôme . on a le polynôme caractéristique
   $P_A$ (X)= $-(X-1{)}^2$(X+1)

[mathtous]

Bonjour,
Le polynôme minimal ne peut être que :
(X-1)², ou (X-1)(X+1), ou (X-1), ou (X+1).
Tu vérifies qu'aucun n'annule A.
Je veux dire : que A n'en annule aucun !
Donc ici le polynôme minimal est (au signe près) le polynôme caractéristique:
(X-1)²(X+1).
Vérifie mes dires.

[pierresimpore]

oui, aucun n'annule la matrice .
et la 2ieme question

[mathtous]

$P_A$(A) = 0, donc (A-I)²(A+I)=0
c'est-à-dire A³ - A² -A + I = 0
A(-A² + A + I) = I
D'où $A^{-1}$

[pierresimpore]

Bonjour, merci j'ai compris