trigonalisation
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Ppierresimpore dernière édition par
Bonjour,
aidez moi à trigonaliser la matrice suivante
A = (−1amp;1amp;0 1amp;1amp;2 1amp;−1amp;0)\begin{pmatrix} -1& 1& 0\ 1& 1& 2\ 1& -1& 0\end{pmatrix}(−1amp;1amp;0 1amp;1amp;2 1amp;−1amp;0)
et à calculer AnA^nAn
pour le polynome caracteristique je trouve
PAP_APA (X) = −X3-X^3−X3
et V1V_1V1 = (1,1,-1) est un vecteur propre associé à 0
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Le sev propre associé à V1 est une droite.
Il faut compléter pour avoir une base de la façon suivante :
V1 vérifie (A-0I)V1 = 0
Tu cherches V2 tel que (A-0I)²V2 = 0.
Je te propose V2 = (1;0;-1) Vérifie ...
Tu complètes pour avoir une base : je te propose V3 = (1;0;0)
Tu formes ainsi la matrice de passage P, et son inverse.
Vérifie que P−1P^{-1}P−1AP est une matrice triangulaire.
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Ppierresimpore dernière édition par
Bonjour,
Ok ca marche donc
P = (1amp;1amp;1 1amp;0amp;0 −1amp;−1amp;0)\begin{pmatrix} 1& 1& 1\ 1& 0& 0\ -1& -1& 0\end{pmatrix}(1amp;1amp;1 1amp;0amp;0 −1amp;−1amp;0)
ce qui donne
P−1P^{-1}P−1 = (0amp;−1amp;−1 0amp;1amp;0 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 0& -1& -1\ 0& 1& 0\ 1& 0& 1\end{pmatrix}(0amp;−1amp;−1 0amp;1amp;0 1amp;0amp;1) d'ouP-1AP = (0amp;0amp;−2 0amp;−1amp;1 0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0& 0& -2\ 0& -1& 1\ 0& 0& 0\end{pmatrix}(0amp;0amp;−2 0amp;−1amp;1 0amp;0amp;0) .
questions :- pourquoi V2V_2V2 vérifie (A −0I)2-0I)^2−0I)2 V2V_2V2 = 0
- la matrice trigonale que j'ai trouvé devrait elle avoir sur sa diagonale uniquement que la valeur propre 0 ?
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Mmathtous dernière édition par
Vérifie P−1P^{-1}P−1.
Pour la matrice triangulaire, tu devrais avoir des 0 sur la diagonale principale.
Citation
pourquoi V2 vérifie (A -0I)² V2 = 0
C'est dans la théorie.
Il faut regarder les démonstrations en détail.
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Ppierresimpore dernière édition par
j'ai verifié mes calculs : P, P−1P^{-1}P−1 et P-1AP . je ne vois pas d'erreurs
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Mmathtous dernière édition par
Ben quand je multiplie P par par ce que tu as trouvé pour P−1P^{-1}P−1, je ne trouve pas I.
S'il y a une erreur, c'est sur P−1P^{-1}P−1.
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Ppierresimpore dernière édition par
ok je trouve maintenant
P−1P^{-1}P−1 = (0amp;1amp;0 0amp;−1amp;−1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 0& 1& 0\ 0& -1& -1\ 1& 0& 1\end{pmatrix}(0amp;1amp;0 0amp;−1amp;−1 1amp;0amp;1)je vais essayer maintenant de calculer
P-1AP
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Mmathtous dernière édition par
P−1P^{-1}P−1 me paraît juste.
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Ppierresimpore dernière édition par
P-1AP = (0amp;−1amp;1 0amp;0amp;−2 0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0& -1& 1\ 0& 0& -2\ 0& 0& 0\end{pmatrix}(0amp;−1amp;1 0amp;0amp;−2 0amp;0amp;0)
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Mmathtous dernière édition par
Je trouve cela aussi.
Pour les puissances de A, il suffit de connaître celles de la matrice triangulaire.
Mais tu sais aussi que A³ = 0 (polynôme caractéristique).
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Ppierresimpore dernière édition par
j'ai l'impression que je vais devoir la decompser
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Mmathtous dernière édition par
Non.
Tu as juste à calculer A², puisque tu sais que A³ = 0.
Pour A², tu as le choix : calcul direct ou utilisation de la matrice triangulaire (ça me paraît plus long, mais ça permet de vérifier).
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Ppierresimpore dernière édition par
A2A^2A2 = (2amp;0amp;2 2amp;0amp;2 −2amp;0amp;−2)\begin{pmatrix} 2& 0& 2\ 2& 0& 2\ -2& 0& -2\end{pmatrix}(2amp;0amp;2 2amp;0amp;2 −2amp;0amp;−2)
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Mmathtous dernière édition par
C'est ce que je trouve (calcul direct).