Polynôme et fonction ln

Bonjour
j'ai besoin d'explication pour mon DM s'il vous plaît
Merci de votre soutien

Soit P(x) = 2x^3 5x^2 - 4x + 3

Calculer P(-1) par La fonction P(x).
Résoudre
a) P(x) = 0
b) P(x) < 0
En déduire la résolution de:

a) 2(lnx)^3 - 5(lnx)^2 - 4(lnx) + 3 = 0
b) 2(lnx)^3 - 5(lnx)^2 - 4(lnx) + 3 < 0

Je poste mes premiers résultats dans un moment s'il vous plaît

Bonjour,

Tu as écrit :
Citation
Soit P(x) = 2x^3 5x^2 - 4x + 3

Il manque un signe.
Merci de revoir l'écriture de P(x)

Toutes mes excuses
c'est bien P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3

P(-1) = 0 c'est fait
a) P(x) = 0
S = {-1;3/4;3}

b) P(x) < 0
S = ]-oo;-1[U]3/4;3[

Bonjour,
Il me semble que la valeur 3/4 est fausse : revois le calcul des racines de P.

Bonjour Mathtous,

Effectivement, je viens de faire la factorisation.

P(x)=(x+1)(2x²-7x+3)

Les solutions de 2x²-7x+3=0 sont à revoir par sérénade.

Je viens de voir mon erreur

P(x) = 0
S = {-1;1/2;3}

P(x) < 0
S = ]-oo;-1[U]1/2;3[

Si j'ai bon comment faire pour la suite?

3)a)
Tu vois, à cause de la forme de l'équation, que ln(x) est racine de P.
Par exemple, pour ln(x) = -1, que vaut x ?

pour ln(x) = -1 je ne connais pas la réponse vraiment

je dirai plutôt que je ne comprends pas

Que sais-tu de la fonction ln ? As-tu étudié la fonction exponentielle ?

OUI je sais que la fonction ln est définie sur ]0;+oo[
est quelle est croissante sur cet intervalle

Si a est un nombre positif, et si b = ln(a), exprime a en fonction de b :
a = ??

serenade, je me permets de te donner la marche à suivre pour la 3)a) vu que tu dis "je ne comprends pas" et ensuite je te laisse avecMathtous*car à deux, on va te perturber.*

Pour la 3)a), tu dois d'abord donner la condition d'existence :x > 0 ( car on ne peut prendre que le logarithme d'un nombre strictement positif )

Ensuite , tu fais le changement d'inconnue : lnx=X

Tu obtiens l'équation auxiliaire :

$2X^3-5X^2-4X+3=0$

En utilisant la question précédente ( elle est là pour ça) :

X=-1 ; X=1/2 ; X=3

d'où:

lnx=-1 ; lnx=1/2 ; lnx=3

Je te laisse avec Mathtous pour terminer la résolution de ces trois petites équations (et réponds lui à sa dernière question...)

mathtous
a = b
Merci mtschoon

Non, non.
si b = ln(a) a et b ne peuvent pas être égaux.
C'est pourquoi je te demandais tout à l'heure si tu connaissais la fonction exponentielle.
Tu dois savoir que, pour a positif, b = ln(a) équivaut à a = $e^b$ , que tu peux aussi écrire exp(b).

mais le problème est que sur les exercices qu'on a fait en classe on a pas encore utilisé cette égalité

Mais l'as-tu vue en cours ?

Le cours c'est Fonctions logarithme et exponentielle neperien
Voilà comment c'est écrit dans mon cahier de cours et sur tous les exercices d'application je n'ai pas vu e**

I) c'est Fonction logarithme neperien

Si tu n'as rien vu en cours concernant la fonction exponentielle, l'exercice est prématuré : il faut attendre d'avoir vu au moins ce que je t'ai dit plus haut :
pour a positif, b = ln(a) équivaut à a = $e^b$ , que tu peux aussi écrire exp(b).

PS : c'est la fonction "logarithme népérien", et la "fonction exponentielle".
L'une est réciproque de l'autre : la fonction exponentielle est une bijection de ]-∞;+∞[ sur ]0;+∞[, et la fonction logarithme népérien est sa réciproque, de ]0;+∞[ sur ]-∞;+∞[.
Retiens : pour a positif, b = ln(a) équivaut à a = exp(b).

Donc je fais
lnx=-1
donc x = e^-1

lnx = 1/2
x = e^1/2

lnx = 3
x = e^3

Oui, tu trouves ces trois solutions.
La question b) n'est pas plus difficile.

Pour b) je fais

lnx < -1 et x>0
x < -1
S = ∅

est ce bien raisonné

Non, tu fais la même erreur que plus haut : tu mélanges x et ln(x).
La fonction logarithme est croissante.
Donc ln(x) < -1 ⇔ x < $e^{-1}$ , et x >0.
Mais l'inéquation demandée ne se restreint pas à ln x < -1.
C'est 2(lnx)^3 - 5(lnx)^2 - 4(lnx) + 3 < 0, c'est-à-dire
P(ln(x)) <0.
Il faut donc utiliser le résultat de la question 2.
En posant, comme te l'a proposé Mtschoon, X = ln(x) (toujours pour x >0),
tu as trouvé, pour P(X)<0 : S = ]-oo;-1[U]1/2;3[
Donc, puisque X = ln(x) :
S' =( ]-∞; $e^{-1}$ [ ∪ $e^{1/2}$ ; $e^3$ [)∩]0;+∞[
S'= ]0; $e^{-1}$ [ ∪ $e^{1/2}$ ; $e^3$ [

Merci à vous deux mais je pense qu'il me faut faire plus de recherches et plus d'exercices pour mieux appréhender ce cours...
et je suivrai vos conseils
Merci de votre compréhension et surtout de votre patience

De rien.
N'hésite pas à demander si quelque chose ne te parait pas clair.
Bon courage.

Une petite réflexion sur cet exercice ( très classique et très bien)

Comme te dit Mathtous, c'est très bizarre que tu ne connaisses pas "e" et que l'on te donne cet exercice à faire.

Une idée me vient ...

Tu ne connais pas encore l'expression $strong>e^x$ , mais tu connais exp(x)

ln(x)=y <=> x=exp(y)

Ainsi :

ln(x)=-1 <=> x=exp(-1)
ln(x)=1/2 <=> x=exp(1/2)
ln(x)=3 <=> x=exp(3)

Tu apprendras bientôt que exp(x) vaut $e^x$ , mais tu ne le sais pas encore.

Est-ce que je me trompe ?

Rebonjour mtschoon d’après vos remarques je me pose moi même la question de savoir pourquoi le prof nous a donnés un tel exercice, d'autant plus que dans tous les exercices d'application je nai pas vu une seule fois e**

Comme je te dis, n'utilise pas "e" ( pour l'instant ), vu que tu ne l'as jamais vu.

Utilise l'exponentielle, dont l'abréviation est exp

Tu n'as pas le choix...

Et observe comment ton professeur corrige l'exercice...

Merci et bien des choses à tout le mode