espace vectoriel normé

Bonjour à tous,
j'ai besoin de votre aide pour traiter cet exo suivant :
soit E l'espace vectoriel des fonctions numériques continues sur I = $[0;1]\left[0;1 \right]$ . pour tout f ∈ E , on pose
N(f) = $∫01f2(t)dt\sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}}$ .
montrer que N est une norme sur E .
mes éléments de réponse:

je dois prouver que N(f) = 0 ⇒ f =0
on a N(f) = 0 ⇒ $∫01f2(t)dt\sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}}$ = 0 c'est à dire
$∫01f2(t)dt\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}$ =0 à partir de là je ne sais pas comment montrer que f = 0 .
montrer que $n(λf)=λn(f)n(\lambda f)= \lambda n(f)$
là c'est simple et j'ai pu démontrer
montrer que pour f et g ∈ E
N (f + g) ≤ N(f) + N(g)
c'est là le véritable problème .

Bonjour,
Commence déjà par montrer que N(f) existe et est positive ou nulle.
2) Attention : N(λf) = |λ|N(f) et pas λN(f).

Utilise le fait que f est continue sur [0;1]
Tu dois connaître l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Tu peux avec elle majorer N²(f+g).
Une remarque : |f| ≠ f, mais |f|² = f². Ainsi, tu peux n'utiliser que des termes positifs.

Bonjour,
pour montrer que N(f) existe et est positive ou nulle on a,
la racine carrée d'un nombre qui est toujours positif et de plus N(f) est définie sur I donc existe .
quelle est cette inegalité?
j'ai vu une inégalité sur le net mais je comprend pas bien. on parle d'un trinôme :
$p(λx+y)=p(\lambda x + y) =$ . je ne sais pas si c'est ça mais je ne comprend pas.

Citation
N(f) est définie sur I donc existe .C'est cela qu'il faut préciser : pourquoi l'intégrale existe-t-elle ?
Pourquoi est-elle positive ?
Traite d'abord la question N(f) = 0 ⇒f = 0.
L'inégalité se démontre effectivement en utilisant un trinôme dont on sait qu'il est positif ou nul.
Pour P, utilise plutôt N²(|f|+λ|g|) = P(λ) : exprime-le suivant les puissances de λ.

ok,
N(f) = 0 ⇒ \int_{0}^{1}{f^2(t)dt} =0 en fait je bloque à partir de là

Utilise la continuité.
Pour tout t de [0;1], f²(t) ≥ 0.
Raisonne par l'absurde.
Suppose qu'il existe une valeur t0 pour laquelle f²(t0) > k > 0.
Comme f, donc f², est continue, il existe un intervalle ouvert non vide ]a;b[ contenant t0 dans lequel f²(t) > k.
Il en résulte que l'intégrale sur [0;1], est supérieure à l'intégrale sur ]a;b[, laquelle est supérieure à k.(b-a) qui est strictement positif.
Ce qui contredit qu'elle soit nulle. L'hypothèse faite sur t0 est donc fausse et la propriété est établie.
Fais un dessin pour mieux comprendre ce raisonnement.
Tu peux aussi trouver un contre-exemple en prenant une application non continue pour laquelle N(f) = 0 n'impliquerait pas f = 0 (N serait alors seulement une semi-norme).

OK, j'ai compris .
il reste cette fameuse inegalité

Développe P(λ) = N²(|f|+λ|g|)
C'est un trinôme du second degré en λ.
Comme carré, il est positif ou nul pour toute valeur de λ.
Donc son discriminant est négatif ou nul : ça te donne déjà l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Utilise cette inégalité pour majorer N²(f+g), puis N(f+g).

Tu n'as toujours pas expliqué pourquoi N(f) existe ...

qu'est ce que je dois développer ? est ce N²(|f|+λ|g|) ou bien N(|f|+λ|g|)²?
si c'est N²(|f|+λ|g|) alors on a
N²(|f|+λ|g|) = $∫01(f+λg)2(t)dt\int_{0}^{1}{(f +\lambda g)^2(t)dt}$
= $∫01f2(t)dt+2λ∫01f(t)g(t)dt+λ2∫01g2(t)dt\int_{0}^{1}{f^2(t)dt} +2\lambda \int_{0}^{1}{f(t)g(t)dt} +\lambda ^2\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}$
donc si son discriminant est négatif ou nul alors
$(∫01f(t)g(t)dt)2≤∫01f2(t)dt∫01g2(t)dt(\int_{0}^{1}{f(t)g(t)dt})^2 \leq \int_{0}^{1}{f^2(t)dt\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}}$
donc en mettant les racines on a
$∫01f(t)g(t)dt≤∫01f2(t)dt∫01g2(t)dt\int_{0}^{1}{f(t)g(t)dt} \leq \sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}}}$
je suis un peu perdu. est ce que ce que j'ai fait est juste?

je vois maintenant :
N² (f+g) ≤ $∫01f2(t)dt+2∫01f2(t)dt∫01g2(t)dt+∫01g2(t)dt\int_{0}^{1}{f^2(t)dt} + 2\sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}} + \int_{0}^{1}{g^2(t)dt}$
$≤(∫01f2(t)dt+∫01g2(t)dt)2\leq (\sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}} + \sqrt{\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}})^2$
on aura donc
$\sqrt{n^2(f+g)} \leq \sqrt{\int_{0}^{1}{f^2(t)dt}} + \sqrt{\int_{0}^{1}{g^2(t)dt}}$
en conclusion

N(f+g) ≤ N(f) +N(g)
verifiez

Attention: la racine carrée d'un carré n'est pas le nombre mais sa valeur absolue : √(a²) = |a|
Or, l'intégrale du produit fg peut être négative : il faut prendre les valeurs absolues.
En résumé, il manque des valeurs absolues par endroits.

Bonjour,
je vois. maintenant concernant l'existence de N(f): je ne vois pas comment montrer que N(f) existe. ce que je vois c'est que la fonction f est définie sur [0, 1] donc existe .

f est continue sur [0;1], donc f² aussi. Par suite, f² est intégrable sur [0;1] : l'intégrale existe.
f²(t) est positif ou nul pour tout valeur de t, donc son intégrale aussi. Par suite, on peut en prendre la racine carrée, laquelle est évidemment positive ou nulle.

ok, merci beaucoup

De rien voyons.