Calculer la probabilité d'obtenir "rouge" au troisième coup

Bonsoir,

Voila cette exercice je l'ai trouvé dans un livre avec la correction, pourtant il y'en a une petite chose que je ne comprend pas. J'aimerai bien l'aide de quelqu'un.

Voici l'énoncé: On dispose de deux dés A et B. Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces blanches alors que le dé B a 4 faces blanches et 2 faces rouges. On lance une pièce de monnaie telle que la probabilité d'obtenir "pile" soit 1/3.
-Si on obtient "pile" on décide de jouer uniquement avec le dé A
-Si on obtient "face" on décide de jouer uniquement avec le dé B.

Soit P(R1)= 4/9 la probabilité d'obtenir "rouge" au premier coup.

On a obtenu "rouge" aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d'obtenir "rouge" au troisième coup.

Réponse:

$p(r3/r1∩r2)=p(r1∩r2∩r3)p(r1∩r2)p(r_{3}/r_{1}\cap r_{2})=\frac{p(r_{1}\cap r_{2}\cap r_{3})}{p(r_{1}\cap r_{2})}$

$p(r1∩r2)=p(a)p(r1∩r2/a)+p(b)p(r1∩r2/b)p(r_{1}\cap r_{2})=p(a)p(r_{1}\cap r_{2}/a)+p(b)p(r_{1}\cap r_{2}/b)$

donc $p(r1∩r2)=13(46)2+23(26)2=29p(r_{1}\cap r_{2})=\frac{1}{3}(\frac{4}{6})^{2}+\frac{2}{3}(\frac{2}{6})^{2}=\frac{2}{9}$
car les lancers successifs d'un même dé sont indépendants.

Ceci, je ne l'ai pas compris, de quelle lancers parlent-ils ? Si les lancers étaient indépendants pourquoi on a pas écrit dès le début que P(R1∩R2)=P(R1)P(R2).
Tout ce que j'ai saisi c'est que P(R1∩R2/A)=P(R1/A)P(R2/A), [Avec P(R/A)=4/6 d'après l'énoncé] mais pourquoi?
Je ne comprend pas que'est ce qui est indépendant aussi.

De même on trouve que $p(r1∩r2∩r3)=13(46)3+23(26)3=1081p(r_{1}\cap r_{2}\cap r_{3})=\frac{1}{3}(\frac{4}{6})^{3}+\frac{2}{3}(\frac{2}{6})^{3}=\frac{10}{81}$

D'ou $p(r3/r1∩r2)=59p(r_{3}/r_{1}\cap r_{2})=\frac{5}{9}$

Merci d'avance.

Bonjour,

R1 et R2 ne sont pas indépendants.

L'évènement R1 est "obtenir Rouge au premier coup, sur le dé A ou le dé B"
L'évènement R2 est "obtenir Rouge au second coup,sur le dé A ou le dé B"

L'indépendance dont te parle la correction est relative aux lancers successifs sur le même dé

Si cela peu t'éclairer, je t'explicite $p(r1∩r2)p(r_1 \cap r_2)$
( tu peux faire un arbre probabiliste pour mieux comprendre)

deux possibilités

1ere possibilité:

on obtient Pile sur la pièce ( probabilité 1/3), puis on obtient Rouge sur le dé A ( probabilité 4/6) puis on obtient Rouge sur le dé A ( probabilité 4/6)

bilan :
$13×46×46\frac{1}{3}\times \frac{4}{6}\times \frac{4}{6}$

*(c'est là que si l'on veut expliquer,on peut parler d'indépendance, vu que Rouge est obtenu deux fois de suite sur le dé A-c'est une évidence que je n'aurais même pas indiquée...) *

2ème possibilité:

on obtient Face sur la pièce ( probabilité 2/3), puis on obtient Rouge sur le dé A ( probabilité 2/6) puis on obtient Rouge sur le dé A ( probabilité 2/6)

bilan :
$23×26×26\frac{2}{3}\times \frac{2}{6}\times \frac{2}{6}$

*(c'est là que si l'on veut expliquer,on peut parler d'indépendance, vu que Rouge est obtenu deux fois de suite sur le dé B-encore une évidence-) *

Conclusion :

$p(r1∩r2)=(13×46×46)+(23×26×26)p(r_1 \cap r_2)=( \frac{1}{3}\times \frac{4}{6}\times \frac{4}{6})+(\frac{2}{3}\times \frac{2}{6}\times \frac{2}{6})$

Donc parfois il suffit de déduire les choses sans calcul par relation?!
Aaaah... Merciiiiiiiiiiiiii !

C'est très bien de mettre les formules littérales avant les calculs numériques, mais il faut les "penser" logiquement.

(et c'est vrai que parfois c'est plus simple de raisonner directement avec les valeurs numériques)

Ah je m'excuse, j'ai oublié de vous dire merci ici !! Merciiii !

Et en faite, vous avez raison, j'ai commencé de raisonner directement pas mal de fois et ça a fini très bien pour moi. Merci encore.