Espace vectoriel- Somme directe

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide svp
Il y a 2 questions que je n'arrive pas à résoudre :
soit un espace vectoriel R^3. Soit i=(1,0,0) j=(0 0 1) u=i+j et v=i-j
vect(u) et vect(v) sont ils en somme directe et supplémentaires dans R^3 ?

déjà on peut commencer par u=(1 0 1) et v=(1 0 -1)
Mais le problème sont vect(1 0 1) et vect(1 0 -1) je ne sais pas comment trouver ça malgré le cours.

Merci d'avance.

Bonjour,

Piste possible , mais j'ignore ce que dit ton cours...alors, adapte .

En réalité, tes deux questions n'en font qu'une :

Soit F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de $R^3$

Dire que la somme F1+F2 est directe veut dire la même chose que F1 et F2 sont supplémentaires.

Par théorème, si cela est indiqué dans ton cours, le plus simple est de prouver que $\fbox{ f_1 \cap f_2={(0,0,0)}}$

Piste pour cela :

$\text{f_1=vec(u)={au , a\in r}={(a,0,a) , a\in r }$
$\text{f_2=vec(v)={bv , b\in r}={(b,0,-b) , b\in r }$

Les éléments de $f1∩f2f_1 \cap f_2$ vérifient :

$\left{a=b\0=0\a=-b\right$

En résolvant , tu trouves aisément : $a = b = 0$

donc $f1∩f2=(0,0,0)f_1 \cap f_2={(0,0,0)}$

Tu peux tirer les conclusions :

F1+F2 peut s'écrire : $f1⊕f2f_1\oplus f_2$ (somme "directe")

Par théorème, tout élément de $f1⊕f2f_1\oplus f_2$ se décompose de façon unique en $u + v$ , avec $\in f_1$ et $v∈f2v\in f_2$

Merci.

De rien !