introduction à la decomposition de Jordan

Bonjour à tous
Aidez moi à résoudre cet exercice dont l’énoncé est le suivant.

Soit A = $0amp;−1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} -1& 1& 1& 0\ 0& -1& 0& 1\ -1& 2& 1& -1\ 0& -1& 0& 1\end{pmatrix}$

Vérifier que A est nilpotente d'indice 2
Déterminer $F_0$ , $F_1$ , $F_2$ , où $F_i$ = Ker $V^i$ .V étant l'endomorphisme dont la matrice relative à la base canonique est A .
Déterminer $G_1$ , $G_2$ tels que $G_1$ $⊕\oplus$
$F_1$ = $F_2$ , et $G_2$ $⊕\oplus$
$F_0$ = $F_1$ et V(G_1)⊂ $G_2$ .
Déterminer une matrice inversible P telle que A = $PJP^{-1}$ où J = $0amp;j2)\begin{pmatrix} j2& 0\ 0& j2\end{pmatrix}$ .
mes élément de réponse:

Pour la première question c'est bon.
Pour la deuxième question, je me suis dit comme A est la matrice de V relative à la base canonique donc le calcul de Ker $V^i$ = Ker $A^i$ .
donc on aura:
$F_0$ = $KerV^0$ = KerId = (0,0,0,0)
$F_1$ = Ker V = vect { (1,1,0,1) ; (1,0,1,0) }. et enfin
$F_2$ = Vect de la base canonique de ℜ $^4$ puisque $V^2$ est nilpotent D'indice 2 donc tout vecteur de la forme X = $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ ) est tel que A²X = 0
pour la troisième question :
on a $G_2$ + $F_0$ = $F_1$ , comme $F_0$ = (0,0,0,0) donc $G_2$ = $F_1$ . pour la detemination de $G_1$ ca devient beaucoup plus compliqué. donc je bloque à partir de là. j'ai besoin d"aide
Merci d'avance.

Bonjour,
A première vu je dirais que puisque F2 est l'ensemble complet et que F1 est le le noyaux de ton endomorphisme,
alors G1 doit etre ton espace propre.
Ici il me semble qu'il est vite trouver, puisque tu as une matrice nilpotente d'ordre 2, ce qui donne des informations sur les valeurs propres et les vecteurs propres
Je sais pas si cela t'aide

bonjour, je ne comprend toujours pas

Effectivement, j'ai dis des bêtises juste au dessus autant pour moi,
ton inclusion est direct si G2=F1=KerV alors il est normal d'avoir V(G1)⊂KerV

Déjà tu sais pas le théorème du rang que G1 est de dimension 2.
Tu dois compléter ta base de vecteur propre (car KerV est en fait ton sous espace propre engendré par tes vecteurs propres)
Si je ne me trompes pas, cela fais longtemps que je ne me suis pas replongé dans ces cours

Sinon intéresse toi aux produit scalaire et plus particulière à la transposée de ton endomorphisme sa devrait t'aider.

c'est trop bizzare
on sait que $dim(G_1$ ) =2 . je ne sais même pas par ou commencé . si Ker V est est le sous espace engendré par par les propres de A alors si je pose U1 et U2 ces vecteurs alors U1 = (1,1,0,1) et U2 = (1,0,1,0) . si je dois compléter la base de vecteurs propres....
alors que la matrice A n'a que 2 vecteurs propres... ,

Tu dois la compléter par orthogonalisation, tu sais que KerV est le sous espace propre, et qu'il est en somme direct avec son orthogonal,
tu sais que KerV=ImV dans notre cas. Donc si G1=Im V° (le ° signifie orthognal) le tour est joué.
Et on sait que ImV°= Ker transp(V) donc tu as le complémentaire de ta base de vecteur propres et tu as ta base de R4.

L'autre méthode était de prendre tes vecteurs, tu en prenais deux autres et tu te lançait dans un système d'équation. Je ne sais pas si ça aurait aboutit mais c'était ma première piste avant de penser à l'orhtogonalisation.

voici ce que je trouve ,
je me retrouve avec un systeme de la forme
X1 + X2 =0
X1 + X3 = 0
-X2 +X3 -X4 =0 donc
Ker transp( V) = Vect { ( -1, 1,1,-1), (0,0,0,1)

Pour moi ça me paraît correct (il n'y a pas unicité bien sur j'en avais une autre).
Vérifie que tu as bien somme direct et que tu as bien une base avec tes 4 vecteurs et normalement c'est bon.

ok, je vais faire les vérifications et poster les resultats

j'ai verifié et j'ai vu que l'ensemble forme une base.
concernant la somme directe :
j'ai voulu utilisé la propriéré qui dit que '' F + G = R² si tout vecteur de F + tout vecteur de G donne tout vecteur de R² '' (c'est un exemple )
mais c'est bizarre , donc j'ai essayé de montrer que $G_1$ ∩ $F_1$ = (0,0,0,0) et ça donné .

Oui montre que G1∩F1={0} et la somme de leur dim vaut 4 suffi à prouver la somme direct dans notre cas,
Mai sis t'as prouver que c'est une base alors forcément il sont en somme direct normalement.

merci beaucoup pour votre aide

bonjour, j ai oublié qu il restait une derniere question. Comment dois je procéder

Ben déjà tu as une base il faut juste opérer sur le bon changement de base.
Est ce que tu as des sous espace stable,
essaie d'en trouver
aide toi de V(G1)C G2,
que peut tu dire de leur dimension,
Que peut tu dire de la décomposition de R4 du coup,
Quelle nouvelle base pourrait donc être intéressante, et tu as la matrice de changement de base