calcul d'une somme dans R (termes d'une suite)

Bonjour
je n'arrive pas bien à comprendre ce genre d'exercice, j'ai beau cherché mais je ne vois pas

Soit **nun nombre entier naturel,**n≥2.

On pose S = 1+(1/2) + 1/(2²) + ...... + 1/(2^n)2)

Calculer S - 1/2S.
En déduire la valeur de S en fonction de n, puis l'égalité l'inégalité S<2

Est ce qu'il faut d'abord déterminer S?

Bonjour,

Cet exercice veut de faire démontrer la formule de la somme des (n+1) termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison (1/2)

Une disposition pratique :

Sur une ligne,tu recopies S=1+(1/2)+...(tu complètes)
Sur la ligne au-dessous, tu mets (1/2)S=(1/2)+(1/2²)+....(tu complètes)

En retranchant membre à membre, tu pourras barrer presque tous les termes (et tu verras ce qu'il reste)

Essaie et tiens nous au courant.

Remarque : tu peux regarder ici le principe général de la démonstration.

http://homeomath.imingo.net/suitgeo.htm

En 2) c'est:

En déduire la valeur de S en fonction de n, puis l'inégalité S<2

Mais en classe j'ai pas encore vu les suites

Peut-être que ton professeur aime que ses élèves découvrent seuls...c'était le cas pour "e"...

Tu peux faire le calculs sans rien savoir.

Essaie la disposition pratique que je t'ai indiquée ( et qui est faite dans le lien que je t'ai proposé)

La 2) est la conséquence directe de la 1)

Je te démarre le calcul :

$S=1+12+(12)2+(12)3+...+(12)n−1+(12)nS=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^{n-1}+(\frac{1}{2})^n$

En multipliant par (1/2) :

$12S=12+(12)2+(12)3+...+(12)n+(12)n+1\frac {1}{2}S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{2})^{n+1}$

En retranchant membre à membre (barre "verticalement" ce qui s'annule), il reste :

$S−12S=....S-\frac{1}{2}S=....$

Bonjour
Donc pour

$S=1+12+(12)2+(12)3+...+(12)n−1+(12)nS=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^{n-1}+(\frac{1}{2})^n$

En multipliant par (1/2) :

$\frac {1}{2}S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^{n}+(\frac{1}{2})^{n+1} \ \$

En retranchant membre à membre, j'obtiens:

$S−12S=1S-\frac{1}{2}S=1$

Pas tout à fait

Regarde bien

Lorsque tu retranches membre à membre , il te reste le premier terme en haut à gauche (qui est 1), mais aussi le dernier terme en bas à droite .

et les (1/2)^(n-1)

Les (1/2)^(n-1) se s'implifient : ils font partie des ...

Regarde bien ce qui ne se simplifie pas en bas à droite.

Remarque : si tu peines à réaliser ce qui se passe, au brouillon , tu peux commencer par prendre un cas numérique simple.
par exemple, tu prends n=3
Tu fais les deux lignes. Tu comprendras peut-être mieux ce qui reste .

Oui je vois que en bas à droite 1et 1/2^(n+1) ne se simplifie pas
Donc ce serait alors S - 1/2S = 1+1/2^(n+1)

Mais je voudrais savoir une chose quelle est l'expression générale de S?

C'est presque ça , mais l'expression en bas à droite doit être précédée d'un signe "-" vu que tu fais unesoustraction.

Tu as donc :

$S−12S=1−(12)n+1S-\frac{1}{2}S=1-(\frac{1}{2})^{n+1}$

Tu utilises cette formule pour trouver S :

$S−12S=12S=1−(12)n+1S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S=1-(\frac{1}{2})^{n+1}$

Donc, S=.................

je ne vois pas vraiment mais si je comprends d'après l'égalité S = 1
car -1/2S = -1/2^(n+1)

non, tu fais des fautes de calculs.

$12S=1−(12)n+1\frac{1}{2}S=1-(\frac{1}{2})^{n+1}$

Il te reste à multiplier chaque membre de cette égalité par 2 pour obtenir l'expression de S.

Donc S = 2

$S=2\time(1-(\frac{1}{2})^{n+1}) \$ = 2-(1)^n+1

excuse moi c'est pas facile j'ai beaucoup de soucis en math

Ce que tu as écrit en latex est bon, mais il faut distribuer le 2

$S=2×(1−(12)n+1)S=2\times(1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

$S=2−2((12)n+1)S=2-2((\frac{1}{2})^{n+1})$

Tu peux laisser cette expression comme ça, mais tu peux la simplifier un peu en utilisant les propriétés des puissances.

Ainsi, la meilleure réponse est

$\fbox{S=2-\frac{1}{2^n}}$

*S ne vaut pas 2 , puisqu'il vaut $2-1/2^n$

Il y a une valeur de S pour chaque valeur de n*

Mais il Ya deux parties qui m'échappe ici:

la première: le début c'est à dire comment on obtient 1/2S ou - 1/2S

l'autre c'est comment on passe de

$S=2−2((12)n+1)S=2-2((\frac{1}{2})^{n+1})$

à $\fbox{S=2-\frac{1}{2^n}}$

Pour obtenir (1/2)S, tu prends l'expression de S donnée dans l'énoncé et tu multiplies par (1/2) :
cela revient à multiplier chaque terme de la somme S par (1/2)

Pour ta seconde question :

Je détaille au mieux

$(12)n+1=1n+12n+1=12n+1(\frac{1}{2})^{n+1}=\frac{1^{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}$

En multipliant par 2 :

$2×(12)n+1=2×12n+1=22n+1=22×2n=1×22×2n=12n2\times (\frac{1}{2})^{n+1}=2 \times \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{2}{2\times 2^n}=\frac{1\times 2}{2\times 2^n}=\frac{1}{2^n}$

Evidemment, pour ces calculs, il est nécessaire de maîtriser les propriétés des puissances.

Si je vous suis bien vous avez fait 1^(n+1) = 1

et de l'autre coté en bas 2^(n+1) = 2 x 2^n ( là je n'ai pas bien saisi)

C'est bien ça .

$1n+1=1×1×1...×1=11^{n+1}=1\times 1\times 1...\times 1=1$

$2n+1=2n×21=2n×2=2×2n2^{n+1}=2^n\times 2^1=2^n\times 2=2\times 2^n$

(car $2^1=2$ )

Oui c'est très clair

Merci

De rien.

Es-tu arrivée à justifier S < 2 ?

Non j'ai as encore justifier que S<2

Mais si je pars de $\fbox{S=2-\frac{1}{2^n}}$ tout en sachant que: n≥2
en prenant n''importe quelle valeur de n ∈ [2;+oo[

j'obtiens : S<2

Maintenant je ne sais pas si mon raisonnement est bon

Si, ton raisonnement est bon mais il faut donner une explication "logique".

Il te suffit de dire que, pour tout n ∈ [2;+∞[ , $12n\frac{1}{2^n}$ est un nombre strictement positif

A 2 , si tu ôtes un nombre strictement positif, le résultat est strictement inférieur à 2

Les maths ne sont pas faciles, parfois certains profs n'expliquent pas certains détails, même quand on corrige en classe.

Demain j'ai cours dans l'après midi, je voudrais si possible que vous m'expliquiez un peu plus les probabilités et les ln et "e" le matin. Surtout sur les rapports ln et "e" dans les équations et inéquations

Merci beaucoup
Bonne soirée

Bonjour Serenade.

*Comme l'explication était terminée, je n'avais pas vu ta dernière demande...je la vois à l'instant.

Si tu as besoin d'explications complémentaires sur d'autres sujets que celui-ci, ouvre de nouvelles discussions ( une discussion par question).

Nous t'aiderons au mieux.*

Merci beaucoup mtschoon c'est vraiment gentil de ta part
Bonne journée