demonstration : application surjective

[magy]

Bonsoir,je coince sur ceci:
Soient A,B deux ensembles et f une aplication de A dans B.Demontrer que les propositions suivantes sont equivalentes:
a)Pour toute partie Y de B f[f^-1(Y)]=Y
b)f est surjective.

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques idées possibles pour la démonstration :
Faire 2 parties (directe et réciproque)

1ère partie : Montrer que si pour tout Y de B $f(f^{-1}$(Y))=Y, alors f est sujective

Pour cela :

Soit y ∈ B .
Pour Y={y}, on a $f(f^{-1}$({y})={y} donc $f^{-1}$({y}) n’est pas vide
donc y a au moins un antécédent

f est donc surjective

2ème partie : Montrer que si f est surjective, alors pour tout Y de B
$f(f^{-1}$(Y))=Y

Il faut prouver une double inclusion.

Pour cela :
Soit y un élément de $f(f^{-1}$(Y))
Alors il existe x de $f^{-1}$(Y) tel que son image y par f appartient à Y : y∈Y
donc $f(f^{-1}$(Y)) ⊂Y

Il reste à prouver que Y ⊂ $f(f^{-1}$(Y))
Soit y un élément quelconque de Y. Vu que f est surjective, il existe x de A tel que f(x)=y
Comme y ∈ Y, x ∈ $f^{-1}$(Y) donc f(x) ∈ $f(f^{-1}$(Y)) donc y appartient à $f(f^{-1}$(Y)), donc
Y ⊂ $f(f^{-1}$(Y))

donc $f(f^{-1}$(Y)) = Y

Remarque : tu peux peut-être faire des schémas type "patates"; ça aide à raisonner.

[magy]

Merci ,j'ai compris maintenant!!

[mtschoon]

De rien !