Déterminer les coordonnées de vecteurs dans des bases

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice :

On pose u=(1,1,-1), v=(1,-1,1) et w=(-1,1,1). On note C la base canonique de $R^3$ . Montrer que B=(u,v,w) est une base de $R^3$ . On considère les vecteurs y et z tels que $y]_C$ =matrice colonne [1 2 -1] et $z]_B$ =matrice colonne[1 2 -1]. Déterminer les coordonnées de y dans la base B et de z dans la base C.

Je n'ai aucune idée pour débuter. Faut il résoudre un système en posant u=(x,y,z) et résoudre au+bv+cw=x puis au+bv+cw=y....

J'aimerais avoir une aide sur cet exercice car je suis complètement bloquée
merci

Bonjour,

Pour prouver que B est une base, tu dois prouver que u,v,w forment une famille libre et génératrice.

Comme $R^3$ est de dimension 3, toute famille libre à 3 éléments est une base; ainsi, tu évites de démontrer que la partie est génératrice. Tu démontres seulement que la famille est libre.

Je n'ai guère compris tes notations. "matrice colle" ? ? ?

Si j’ai bien déchiffré :

Soit i=(1,0,0); j=(0,1,0) et k=(0,0,1)

Pour le 1er calcul, tu cherches a,b,c, réels tels que :1i+2j-1k=au+bv+cw

Pour le 2ème calcul, tu cherches a,b,c, réels tels que 1u+2v-1w=ai+bj+ck

ok donc pour la première question je ferai :

a)
x+y-z= 0
x-y+z=0
-x+y+z=0

je trouve après résolution, je trouve x=z et y=0. Donc B(u,v,w) est une base de R ssi x=z=0.

b) du coup je résous le système:
ce sont des matrices colonnes donc j'ai d mal à comprendre vos i,j et k.
a+b-c=1
a-b+c=2
-a+b+c=-1

je trouve que : a=3/2 b=0 et c=1/2 pour les coordonnées de y et de c. je ne vois pas pourquoi je dois les calculer dans les deux bases sachant qu'elles sont égales

a) le système est bon mais tu as dû faire quelques erreurs de calcul.

Tu dois trouver x=0, y=0, z=0.

Si ce n'était pas le cas, B ne serait pas une base.

Alors, recompte.

b) Oui pour tes réponses pour a, b, c au 1er calcul.

Pour le second calcul, le système est différent.

en fait au message précédent j'ai trouvé les coordonnées de y dans la base B non?

pour le deuxième système dans qui me donne les coordonnées de z dans la base C je trouve :

a=1
b=2
c=-1

oui, tu as trouvé les coordonnées de y dans la base B

Vérifie tes calculs pour le deuxième système qui te donne les coordonnées de z dans la base C

pour le deuxième système, il faut résoudre :

1u+2v-1w=ai+bj+ck soit :

je n'arrive pas à l'écrire je tombe directement sur :
u=1
b=2
c=-1

comment écrire les trois lignes du système sans écrire la même chose qu'au précédent ?

Dans la base C : z=(a,b,c) on cherche a,b,c

Dans la base B z=1u+2v-1w

Donc z=1(1,1,-1)+2(1,-1,1)-1(-1,1,1)

Continue.

donc :

x+2y+z=1
x-2y-z=2
-x+2y-z=-1

je trouve encore z=(3/2,0,-1/2)

mais, que vient faire le système que tu écris?

relis mon dernier post.

j'ai mal compris
Donc z=1(1,1,-1)+2(1,-1,1)-1(-1,1,1)
z=(1,1,-1)+(2,-2,2)+(1,-1,-1)
z=(4,-2,0)

c'est bon.

(4,-2,0) représente les coordonnées de z dans la base C

d'accord je vais refaire cet exerice

C'est une sage idée.

Bon changement de base !