Analyse-Synthèse

[brom2]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour la rédaction d'une analyse synthèse dans cet exercice :

Soit (a,b)∈R² tel que a<b. Soit f une fonction de classe C² sur [a,b] telle que f(a)=f(b)=0=f'(a)=f'(b). Montrer qu'il existe un c∈]a,b[ tel que f''(c)=f(c). On pourra utiliser la fonction g définie sur [a,b] par pour tout x∈[a,b], $g(c)=e^{-x}$(f(x)+f'(x)).

J'ai fait (sans présenter sous forme d'analyse sythèse car j'ai justement du mal) :

$g(a)=e^{-a}$(f(a)+f'(a)) et $g(b)=e^{-b}$(f(b)+f'(b))

or f(a)=f(b)=0=f'(a)=f'(b) donc : $g(a)=e^{-a}$(f(a)+f'(a))=0=g(b) donc g(a)=g(b)

g'$(x)=-e^{-x}$(f(x)+f'$(x))+e^{-x}$(f'(x)+f''$(x))=e^{-x}$[-f(x)+f''(x)] donc 0=g'$(c)=e^{-c}$[-f(c)+f''(c)] ssi f(c)=f''(c)

merci de m'aider pour la mise en forme !

[mtschoon]

Bonjour,

Je me contente de lire ton énoncé, mais il me laisse perplexe...

Tu as écrit :

g(c)=e-x(f(x)+f'(x) ? ? ? Bizarre...c ??? et s'il y a un exposant, merci de l'écrire correctement.

[brom2]

oui désolé dans l'énoncé c'est :

$g(x)=e^{-x}$(f(x)+f'(x))

[mtschoon]

Quelques pistes possibles (qu'il faut expliciter) , si tu dois vraiment faire une "analyse-synthèse"

Pour l'analyse :

Tu dois raisonner sur une hypothétique solution du problème et en déduire une (ou des) propriété qu'elle doit vérifier.

Tu supposes donc l'existence d'un réel c de ]a,b[ tel que f''(c)=f(c)

Soit $g(x)=e^{-x}[f(x)+f^{\prime }(x)]$

Après calculs $g^{\prime }(x)=e^{-x}[f^{\prime \prime }(x)-f(x)]$

Donc $g^{\prime }(c)=e^{-c}[f^{\prime \prime }(c)-f(c)]=e^{-c}[f(c)-f(c)]=e^{-c}[0]=0$

g'(c)=0 est donc une condition nécessaire pour solutionner le problème.

Pour la synthèse (qui est la véritable démonstration) :

Tu utilises exclusivement les données de l'énoncé.

$g(x)=e^{-x}[f(x)+f^{\prime }(x)]$

donc :

$g(a)=e^{-a}[f(a)+f^{\prime }(a)]=0$, vu que par hypothèse f(a)=f'(a)=0

$g(b)=e^{-b}[f(b)+f^{\prime }(b)]=0$, vu que par hypothèse f(b)=f'(b)=0

Tu justifies que g satisfait aux conditions d'application du Théorème de ROLLE
Donc, grace à ce Théorème : g' s'annule sur ]a,b[

∃ c ∈ ]a,b[ / g'(c)=0

Vu que $g^{\prime }(x)=e^{-x}[f^{\prime \prime }(x)-f(x)]$

Tu déduis que :

$e^{-c}[f^{\prime \prime }(c)-f(c)]=0$

$e^{-c}$ ne s'annulant pas, f''(c)-f(c)=0 donc f''(c)=f(c)

**CONCLUSION :

∃ c ∈ ]a,b[ / f''(c)=f(c)**

CQFD

[brom2]

merci je vais essayer de la refaire

[mtschoon]

Bon travail.