Démonstration suites

Bonsoir, j'aimerais avoir une correction de ce que j'ai fait pour cet exercice :

Montrer qu'il existe un unique c appartient à [0,1] tel que cos (c) =c. On considère la suite u telle que u_0 = 0 et pour tout n de N, u_(n+1)=cos (u_n) et u_n appartient à [0,1]. Montrer, que pour tout n de N, |u_(n+1) - c|≤sin(1)|u_n - c|.

J'ai écrit :

Si un réel c existe alors 0≤cos c≤1 pour tout x appartient à R, 0≤c≤1. On considère la fonction f(x)=x-cos x définie sur [0,1]. On sait que f est continue sur [0,1] et que f(0) = 1>0 et f(1)=0≥0. Donc d'après le TVI, on sait qu'il existe un c∈[0,1] tel que f(c)=0. De plus, f'(x)=1+sin(x)>0 donc c est unique.

D'après le théorème des accroissements finis, |u_(n+1)-c|= |cos u_n - c| = |cos u_n - cos c| = |sin c||u_n-c| avec c∈]u_n,l] ou ]l,u_n[ on sait que c appartient = [0,1] donc sin c≤sin 1 et |u_(n+1) - c|≤sin(1)|u_n - c|.

Je ne suis pas trop certaine de la rédaction puisque je pense qu'il faut rédiger sous la forme d'une analyse synthèse. J'ai essayé mais je n'ai pas réussi à écrire correctement l'analyse, je ne vois pas trop...du coup ici je pense avoir écrit que les synthèses

merci

Bonjour,

Pourquoi est-il utile de faire une analyse-synthèse ? Pourquoi pas une démonstration ? A toi de voir.

Si tu veux faire une analyse-synthèse, ce que tu as écrit n'est pas clair. Comme je te l'ai indiqué dans ton précédent topic, il faut faire deux parties distinctes(une pour l'analyse et une pour la synthèse). Dans ce que tu as écrit, je ne vois pas les deux parties et c'est très confus.

En plus, je reste perplexe sur ce "f(0)=1 et f(1)=0" . Cela ne convient pas avec f(x)=x-cosx.

Pour l'inégalité des accroissements finis, il faudrait indiquer à quelle fonction tu l'appliques. Je suppose qu'il s'agit de la fonction g définie par g(x)=cosx, mais je ne l'ai pas vu écrit.

En bref, je pense que tout cela est à clarifier.

Bon travail.

bonjour,

car mon prof est très attaché aux analyses synthèses...il en veut quasiment à chaque démonstration demandée ...

a)
Analyse :
On estime qu'il existe un c∈[0,1] tel que cos(c)=c.
Soit f(x)=cosx. On sait que cos (x)∈[0,1] donc il existe un c tel que cos (c)=c.

Synthèse :

Si un tel réel c existe alors 0≤cos c≤1 pour tout x appartient à R, 0≤c≤1. On considère la fonction f(x)=x-cos(x) définie sur [0,1]. On sait que f est continue sur [0,1] et que f(0)>0 et f(1)≤1. Donc d'après le TVI, on sait qu'il existe un c∈[0,1] tel que f(c)=0.

b)
Analyse :
je ne parviens pas à poser l'analyse
Synthèse :
On pose g(x)=cosx. D'après le théorème des accroissements finis, |u_(n+1)-c|= |cos u_n - c| = |cos u_n - cos c| = |sin c||u_n-c| avec c∈]u_n,l] ou ]l,u_n[ on sait que c appartient = [0,1] donc sin c≤sin 1 et |u_(n+1) - c|≤sin(1)|u_n - c|.

Je suppose que ton professeur a des raisons "pédagogiques" pour obliger systématiquement à écrire des "analyses-synthèses", car sur le plan purement "mathématique" seule la démonstration est à faire.

Je crois qu'il va falloir que tu revois tes explications de près...

Quelques idées,

a) Ton analyse n'est pas bonne.
De plus, le but de l'analyse est de trouver des résultats qui seront nécessaires à la démonstration à faire (synthèse), sinon elle ne sert à rien.

Par exemple

Soit c le réel de [0,1] satisfaisant à l'égalité cosc=c
c=cosc <=> c-cosc=0
Soit f(x)=x-cosx . c sera nécessairement solution de f(x)=0

Pour la synthèse, il faudra faire preuve de rigueur et revoir tes calculs de f(0) et f(1) qui sont inexacts et "plombent" la démonstration.

Par exemple

Pour x appartenant à [0,1], soit f(x)=x-cosx
Sur [0,1], f estdéfinie, continue, dérivable
f'(x)=1+sinx
Tu justifies facilement que f'(x) > 0 donc f est strictement croissante.

f(0)=0-cos0=…… donc f(0) < 0
f(1)=1-cos1=…….donc f(1) > 0

D'après leTVI (cas de la BIJECTION), l'équation f(x)=0 a une solution unique c sur [0,1]

Conclusion : il existe une valeur unique c de [0,1] satisfaisant à f(c)=0

f(c)=0 <=> c-cosc=0 <=> cosc=c

Donc,

$\text{\exist ! c\in[0,1] / cosc=c$

CQFD

Remarque : en réalité, j'aurais préféré mettre "c ∈]0,1[" mais puisque visiblement l'énoncé met des crochets fermés, j'ai mis des crochets fermés (qui sont justes)

(Je regarderai la seconde partie plus tard)

Je regarde la seconde partie.

b) Pour l'analyse,

Tu as forcément eu des idées pour appliquer le théorème des accroissements finis.
Ce sont ces idées qu'il faut que tu indiques.

Par exemple

Supposons l'inégalité $\text{|u_{n+1} -c| \le sin1 |u_n-c|$ réalisée.

Vu la première question, c= cosc

Vu l'hypothèse, $U$ _{n+1} $cosU_n$

L'inégalité peut donc s'écrire :

$\text{|cosu_n -cosc| \le sin1 |u_n-c|$

En posant $g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x$ , elle devient

$\text{ |g(u_n) -g(c)|\le sin1 |u_n-c|$

(c'est cela qu'il va falloir démontrer dans la synthèse)

Pour la synthèse,

Par exemple

Sur [0,1], soit $g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x$

g est définie, continue, dérivable

g'(x) = - sinx
Tu justifies que sur [0,1] |g'(x)|=sinx
Tu justifies que sur [0,1], la fonction sin est strictement croissante donc
pour tout x de ]0,1[ sinx<sin1 donc $∣g′(x)∣<sin1|g'(x)|\lt sin1$

Tu as toutes les conditions pour utiliser l'inégalité des accroissement finis sur l'intervalle [Un, c] (ou [c,Un]) inclus dans [0,1]

$\text{|g(u_n)-g(c)|\le sin1 |u_n-c|$

Vu que $g (U n) = c o s (U$ n $U</em>{n+1}$ et g(c)=cosc=c

On obtient:

$\text{|u_{n+1}-c| \le sin1 |un-c|$

CQFD

Revois tout cela de près.
Fais mieux que ma rédaction, si possible.

Bon courage !

merci oui je vais revoir ça correctement

pour la première partie c'est "à peu prêt" bon alors ?

Si tu parles de la partie a), je vais me répéter…

l'analyse n'est pas bonne.

En plus, la synthèse perd tout son sens en écrivant, comme tu l'as fait, f(0)>0 et f(1)≤1...je te l'ai indiqué déjà deux fois (si tu as lu mes réponses...)

Mais, pour les deux parties, tu avais bien trouvé les deux propriétés à utiliser pour les démonstrations.

Raisonnes logiquement et tranquillement en revoyant tout ça.

Bon travail.

finalement pour la première, j'ai bien envie de laisser tomber l'analyse synthèse car dans l'analyse, je ne trouve rien de spécial à dire mis à part 'supposons que c soit un unique appartenant à [0,1] alors cos c = c".
j'ai donc rédigé ceci :

Considérons la fonction g définie par g[0,1] --> [0,1]
x--> f(x) - x avc f(x)=cosx
Comme f est continue, g l'est aussi. On on doit montrer l"existence d'un réel c appartenant à [0,1] tel que g(c)=0.
De plus, g(0)=f(0)-0>0 car f(0) appartient à [0,1] et g(1)=f(1)-1<0 car f(1) appartient à [0,1]. Donc 0 est compris entre g(0) et g(1). D'après le TVI, il existe donc un c appartenant à [0,1] tel que g(c)=0 donc que cos c = c.

Si j'ai bien compris, au final, tu as pris g(x)=cosx-x

Ton explication avec les "car..." me parait bien confuse.
Ce serait plus simple de calculer simplement g(0) et g(1)
g(0)=cos0-0=1-0=1 donc g(0) > 0
g(1)=cos1-1 (≈0.54-1≈-0.46) donc g(1) < 0

Il me semble que tu as oublié de justifier l'unicité de c...

*Maintenant, tu fais seul(e). Bon travail ! *

pour l'unicité :

g(x)= cos x - x
g'(x)=-sinx -1

g est strictement décroissante et continue sur [0,1], elle ne s'annule donc qu'une fois en un c unique.

cela suffit il pour l'unicité?