Montrer qu'une famille de sous ensembles est une partition

Bonsoir,je coince sur ceci:
Soit Ei, i=1,.....,n une partition d'un ensemble E.Montrer que pour tout sous ensemble A de E,la famille des sous ensembles Ai, i=1,....n où Ai=A∩Ei est une partition de A.

Bonjour,
Il faut évidemment supposer que A (et E) est non vide.
Tu dois démontrer les trois propriétés de la définition :

aucun des Ai n'est vide
ils sont 2 à 2 disjoints
leur réunion est A.

Les propriétés 1) et 2) sont quasiment évidentes.
Pour la 3) utilise le distributivité des opérations ∩ et ∪.
Pour y voir plus clair, tu peux par exemple faire un dessin ("patates") avec par exemple 3 sous-ensembles.

*Je viens de m'apercevoir que la propriété 1) n'est pas aussi évidente qu'il n'y paraît : en fait, les Ai non vides peuvent être moins nombreux que les Ei.

Dans ton cours : exige-t-on que les éléments de la partition soient non vides ? (ce qui serait normal).*

Dans mon cours l'ensemble vide ne doit pas appartenir a la partition.
Ei est non vide car c'est une partition de E.Mais je ne sais pas comment montrer que A est non vide et en déduire que A∩Ei est non vide?

L'énoncé est mal posé.
Tel qu'il est écrit, il est faux.
Déjà, l'énoncé devrait indiquer que E et A sont non vides (on peut considérer que c'est sous-entendu).
Mais il y a plus grave : on ne peut pas démontrer que les Ai sont tous non vides.
Voici un exemple :
E = {1;2;3;4;5;6;7}
E1 = {1;2}
E2 = {3;4;5}
E3 = {6;7}
Déjà, tu peux vérifier aisément que les Ei forment une partition de E.
Soit A = {4;5;6} : il est non vide.
Mais Calculons les Ai :
A1 = E1∩A = ∅
A2 = E2∩A = { 4;5}
A3 = E3∩A = {6}
Tu vois que A1 est vide !
Par contre, {A2,A3} est bien une partition de A.
Autrement dit, les Ai sont tels que l'indice i ne varie pas de 1 à n, mais dans une partie de cet intervalle.

D'accord!Donc Ai=A∩Ei est une partition de A si on est dans une partie de l'intervalle 1..n.
Merci pour votre aide!!

Oui,mais il faut préciser : ce n'est pas la partie de [1;n] qui est intéressante, ce sont les Ai non vides.
L'énoncé devrait être : montrer que les Ai non vides constituent une partition de A.
N'oublie pas de démontrer que les Ai (vides ou pas) sont 2 à 2 disjoints et que leur réunion est A.

D'accord.