Algèbre. Diagonalisation.

Bonsoir.
Je n'ai pas su comment résoudre la derniers question (6), si quelqu'un peut m'aider.
Puisque l'exercice est enchaîné, je vais indiqué les résultats que j'ai trouvé dans les autres questions.

Voici l'exercice:
Soit la matrice A= $−1amp;1amp;0)\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\ -3 & 4 & -3\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

1)Trouver les valeurs propres relatives à A.

J'ai trouvé $s p a = (1, 2)$
avec $m u l t i (1) = 2$
et $m u l t i (2) = 1$

2) Déterminer l'espace associé à chaque valeur propre.

J'ai trouvé $e1=≺(1,1,0);(0,1,1)≻e_{1}=\prec (1,1,0);(0,1,1)\succ$
et $e2=≺(1,3,1)≻e_{2}=\prec (1,3,1)\succ$

3)A est elle inversible?

$deta=2≠0deta=2\neq 0$ donc A est inversible.

4)A est elle diagonalisable? Si oui effectuer la diagonalisation.

On a $spa=(1,2)∈rspa=(1,2)\in r$
$e_{1}=multi (1)=2=\prec (1,1,0);(0,1,1)\succ$
et $e_{2}=multi (2)=1=\prec (1,3,1)\succ$
Donc A est diagonalisable. Ainsi :

$0amp;0amp;2)d=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0& 1&0 \ 0& 0& 2 \end{pmatrix}$

et $0amp;1amp;1)p=\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \ 1& 1&3 \ 0& 1& 1 \end{pmatrix}$

5)Calculer $an,∀n∈n∗a^{n}, \forall n\in n*$

On trouve $(1−2n)amp;(2n−1)amp;(2−2n))a^{n}=\begin{pmatrix} (2-2^{n}) & (2^{n}-1) & (1-2^{n})\ (3-2^{n}3) & (2^{n}3-2) &(3-2^{n}3) \ (1-2^{n}) &(2^{n}-1) & (2-2^{n}) \end{pmatrix}$

6) Soient $u_{n})$ , $v_{n})$ et $w_{n})$ , les suites réelle définies par récurrence par:

$u0=v0=w0=1\forall n\in n, \begin{cases} u_{n+1}=v_{n}-w_{n} \ v_{n+1}=-3u_{n}+4v_{n}-3w_{n} \ w_{n+1}=-u_{n}+v_{n} \ u_{0}=v_{0}=w_{0}=1 \end{cases}$

donner l'expression de $u_{n})$ , $v_{n})$ et $w_{n})$ , en fonction de n pour tout n de N*.

C'est tout... Merci!

Bonjour,

Piste pour la question 6), vu que c'est là où tu bloques.

Tu sais que

$\left{v_n-w_n=u_{n+1}\-3u_n+4v_n-3w_n=v_{n+1}\-u_n+v_n=w_{n+1}\right$

Ce système peut s'écrire :

$\left(\ 0\ \ \ 1\ \ -1\-3 \ \ 4\ -3\-1\ \ \ 1\ \ \ 0\right)\time \lef(u_n\v_n\w_n\right)=\lef(u_{n+1}\v_{n+1}\w_{n+1}\right)$

c'est à dire :

$\text{a\time \lef(u_n\v_n\w_n\right)=\lef(u_{n+1}\v_{n+1}\w_{n+1}\right)$

Conséquence (à justifier à ta façon, en fonction de ton cours-éventuellement récurrence) :

$\text{\left a^n\time \lef(u_0\v_0\w_0\right)=\lef(u_{n}\v_{n}\w_{n}\right)$

c'est à dire (vu les valeurs de $U_0$ , $V_0$ , $W_0$ )

$\text{\left a^n\time \lef(1\1\1\right)=\lef(u_{n}\v_{n}\w_{n}\right)$

Tu comptes et tu obtiendras ainsi les expressions de $U_n$ , $V_n$ et $W_n$

Oooooh ! C'est très simple... Je n'en avait pas pensé du tout... Merciiiii!
Est ce qu'il est plus utile de justifier la conséquence par récurrence? à savoir la relation est juste pour n et en vérifie pour n+1 ?

Toute une petite question, ça concerne la question 3, pourquoi on nous a demandé si A est inversible ou non alors que je n'ai pas utilisé cette information. Est ce que j'ai raté quelque chose?

Une récurrence ira très bien pour justifier rigoureusement la dernière formule écrite.

En ce qui concerne ta question complémentaire:
Pour A, la propriété d'être inversible et celle d'être diagonisable n'ont aucun lien entre elles.

Evidemment, si les deux propriétés sont satisfaites ( inversible ET diagonalisable), la matrice A est plus "riche"
Dans ce cas, $A^{-1}$ existe; elle est elle aussi inversible (l'inverse de $A^{-1}$ est A) ET elle est aussi diagonisable ( $a^{-1}=pd^{-1}p^{-1}$ ).

Mais, cela ne sert pas aux questions demandées.

Ah d'accord. Merciiiiii !

De rien !