comment montrer que un+1/un>2?

[racso]

Bonjour,

$u_n=\frac{n!}{n^5}$ pour n ≥ 1

1. montrer que un+1/un>2 ? pourquoi en passant par la lim un+1/un on arrive à montrer que un+1/un>2?

2. Comment arrive t-on à conclure que (un) est convergente ?

Cordialement

Une prochaine fois, merci d'écrire toute la question à la main dans le cadre texte

[mtschoon]

Bonjour,

Une remarque à ta question : (Un) n'est pas convergente, elle est divergente.

Quelques idées possibles,

1. $\text{\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^5}{(n+1)^5}$

Pour x réel , x≥ 1, soit

$\text{ f(x)=\frac{x^5}{(x+1)^5}$

$\text{f(1)=\frac{1}{32} et \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

En calculant f'(x), on justifie aisément que f est dérivable donc continue et strictement croissante de [1,+∞[ vers [1/32,+∞[

D'aprèsle TVI, cas de la bijection,
il existe une valeur $x_0$ de [1,+∞[ telle que $f(x_0$)=2

Vu le sens de variation : Pour x > $x_0$, f(x) > 2

En choisissant N (naturel) tel que N ≥ $x_0$ , pour n ≥ N, f(n) > 2 c'est à dire $\frac{u_{n+1}}{u_n}>2$

Remarque : tu n'es pas obligé de passer par les réels, tu peux faire le raisonnement sur les suites.
Tu peux poser $v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et étudier le sens de variation et la limite de la suite (Vn) et tu trouveras pareil (je trouve plus rapide de passer par les réels, mais c'est un choix...)

2. Tu peux prouver que la suite $(U_n$), à termes strictement positifs, est strictement croissante à partir du rang N

Une explication possible

$\frac{u_{n+1}}{u_n}>2$

donc

$u_{n+1}>2u_n$

donc

$u_{n+1}-u_n>u_n$

or

$u_n>0$

donc

$u_{n+1}-u_n>0$

Tu peux ensuite prouver que $(U_n$) ne peut pas être convergente ( vers un réel l )

En raisonnant par l'absurde, si $(U_n$) converge vers l, nécessairement

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$

Contradiction avec $\frac{u_{n+1}}{u_n}>2$ à partir du rang N

Conclusion :la suite (Un) ne peut que diverger (vers +∞)