comment montrer que un+1/un>2?



  • Bonjour,

    un=n!n5u_n=\frac{n!}{n^5} pour n ≥ 1

    1. montrer que un+1/un>2 ? pourquoi en passant par la lim un+1/un on arrive à montrer que un+1/un>2?

    2. Comment arrive t-on à conclure que (un) est convergente ?

    Cordialement

    Une prochaine fois, merci d'écrire toute la question à la main dans le cadre texte


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une remarque à ta question : (Un) n'est pas convergente, elle est divergente.

    Quelques idées possibles,

    1. $\text{\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^5}{(n+1)^5}$

    Pour x réel , x≥ 1, soit

    $\text{ f(x)=\frac{x^5}{(x+1)^5}$

    $\text{f(1)=\frac{1}{32} et \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

    En calculant f'(x), on justifie aisément que f est dérivable donc continue et strictement croissante de [1,+∞[ vers [1/32,+∞[

    D'aprèsle TVI, cas de la bijection,
    il existe une valeur x0x_0 de [1,+∞[ telle que f(x0f(x_0)=2

    Vu le sens de variation : Pour x > x0x_0, f(x) > 2

    En choisissant N (naturel) tel que N ≥ x0x_0 , pour n ≥ N, f(n) > 2 c'est à dire un+1un> 2\frac{u_{n+1}}{u_n} \gt\ 2

    Remarque : tu n'es pas obligé de passer par les réels, tu peux faire le raisonnement sur les suites.
    Tu peux poser vn=un+1unv_n=\frac{u_{n+1}}{u_n} et étudier le sens de variation et la limite de la suite (Vn) et tu trouveras pareil (je trouve plus rapide de passer par les réels, mais c'est un choix...)

    1. Tu peux prouver que la suite (Un(U_n), à termes strictement positifs, est strictement croissante à partir du rang N

    Une explication possible

    un+1un> 2\frac{u_{n+1}}{u_n} \gt\ 2

    donc

    un+1> 2unu_{n+1} \gt \ 2u_n

    donc

    un+1un>unu_{n+1}-u_n \gt u_n

    or

    un>0u_n \gt 0

    donc

    un+1un>0u_{n+1}-u_n \gt 0

    Tu peux ensuite prouver que (Un(U_n) ne peut pas être convergente ( vers un réel l )

    En raisonnant par l'absurde, si (Un(U_n) converge vers l, nécessairement

    limn+un+1un=1\lim_{n\to + \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1

    Contradiction avec un+1un> 2\frac{u_{n+1}}{u_n} \gt\ 2 à partir du rang N

    Conclusion :la suite (Un) ne peut que diverger (vers +∞)


 

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