Calcul matriciel.

Bonsoir,
Vraiment vraiment et vraiment, je bloque sur une étape, si quelqu'un peut m'indiquer ce que je dois faire s'il vous plait.

L'exercice dit:
Calculer $∀n≥3,an\forall n\geq 3,a^{n}$ avec $−32amp;12amp;0a=\begin{matrix} 0 & 1 & \frac{-\sqrt{3}}{2}\ -1 & 0 & \frac{1}{2}\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} &0 \end{matrix}$ (Méthode de binôme)

Alors, je bloque juste dans le calcule des valeurs propres... Pour mettre $b=a−λi3b=a-\lambda i_{3}$

S'il vous plais, quelqu'un peut m'aider?
Merci.

Bonjour,

Calcul des valeurs propres ?

Bizarre ta question...

Sauf erreur, la seule valeur propre me semble être 0 (de multiplicité 3)* (vérifie, j'ai fait vite)*

Tu peux chercher le SEV associé à cette valeur 0 qui est Kerf (noyau de l'application linéaire f de matrice A) et tu pourras déduire que A n'est pas diagonalisable.

Mais, es-tu sûr(e) d'être sur la bonne voie?

Tu écris Méthode du binôme, alors, utilise laméthode du binôme pour calculer $A^n$ avec n≥3.

Exactement ! C'est ce que j'ai *pu conclure *moi aussi mais je n'ai pas pu le démontrer, c'est pour cela j'ai dis que je bloque dans le calcule des valeurs propres.

En tout les cas, puisque $b=a−λi=ab=a-\lambda i=a$
il suffit de calculer $an=i+na=n(n+1)2a2a^{n}=i+na=\frac{n(n+1)}{2}a^{2}$ n'est ce pas?

Dans le cas ou A n'est pas diagonalisable, est ce que la seule méthode de calculer $a^{n}$ est celle du Binôme?

J'ai posé la question parce qu'il s'agit d'un QCM, est la valeur de $a^{n}$ que j'ai trouvé n'a rien avoir avec les propositions de l'ouvrage.

Un peu bizarre la formule écrite...

Une suggestion,

Vu que tu dois donner $A^n$ pour n≥3, il est logique de commencer par calculer $A^3$ par la méthode de ton choix(même à la calculette, si ce n'est qu'un QCM)

Tu dois trouver $a^3=\left(0 \ 0\ 0\0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0\right)$

Par récurrence, pour tout n≥3, $a^n=\left(0 \ 0\ 0\0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0\right)$

Je m’excuse pour le retard, j'avais beaucoup de travail à faire.

A ouiii, j'ai calculé A³, et j'ai trouvé qu'effectivement c'est zéro pour toutes les lignes et les colonnes.

Donc lorsque les Valeurs propres sont toutes nulles, $0amp;0amp;0)a^{n}=\begin{pmatrix} 0& 0& 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Oui, vu que la seule valeur propre est nulle avec une multiplicité de 3, la matrice A est nilpotente d'indice 3 : Pour n ≥ 3, $A^n$ est la matrice nulle.

Ah d'accord

Merciiii pour la nouvelle information !

De rien. Bon travail.